Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2), C(2; 0) như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục hoành.

Trả lời: ………………..

Diện tích của mặt cắt là: \(S(x) = \pi {(10 + \sqrt x )^2}\).

Dung tích của chậu là:

\(V = \int_0^{16} S (x)dx = \pi \int_0^{16} {{{(10 + \sqrt x )}^2}} dx = \pi \int_0^{16} {(100 + 20\sqrt x  + x)} dx = \left. {\pi \left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16} = \frac{{7744}}{3}\pi \)

Cửa có hình dạng một parabol \((P)\) với phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\).

Parabol \((P)\) có đỉnh \(I\left( {0;\frac{9}{4}} \right)\) nên \(c = \frac{9}{4}\), suy ra \((P):y = a{x^2} + bx + \frac{9}{4}\).

Vì parabol \((P)\) đi qua các điểm \(A\left( { - \frac{3}{2},0} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b =  - \frac{9}{4}}\\{\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b =  - \frac{9}{4}}\end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)

Do đó \((P):y =  - {x^2} + \frac{9}{4}\).

Gọi \(S\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\) là diện tích kính cẩn lắp. Ta có \(S\) bằng diện tích hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi parabol, trục hoành và các đường thẳng \(x =  - \frac{3}{2},x = \frac{3}{2}\).

\(S = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{2}\left( {{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích kính cản lắp là \(\frac{9}{2}{m^2}\).