(Trả lời ngắn) 30 bài tập Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian (có lời giải)

a) Trong các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AD'} \), hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD)

b) Vì \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(AD = DC = DD'\)

Tam giác ADD' vuông tại \(D\) nên theo định lý Pythagore ta có:

                         \(AD' = \sqrt {A{D^2} + D{D^{{\rm{'}}2}}}  = AD\sqrt 2 \)

Tam giác ADC vuông tại \(D\) nên theo định lý Pythagore ta có:

                                 \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}}  = AD\sqrt 2 \)

Do đó, \(AD' = AC\) hay \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|\). Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD'} \) có cùng độ dài.

Vì \(ABC \cdot A'B'C'\) là lăng trụ tam giác đều nên \(AA'B'B\) là hình chữ nhật. Suy ra, \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'} \). Do đó: \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {B'BC} = {90^ \circ }\) (do \({\rm{B}}{{\rm{B}}^{\rm{'}}}C'{\rm{C}}\) là hình chữ nhật)
Vì AA'B'B là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} \).
Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \widehat {C'A'B'}\).
Vì tam giác \(A'B'C'\) là tam giác đều nên \(\widehat {C'A'B'} = {60^ \circ }\). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\widehat {A'C'}} \right) = {60^ \circ }\).

Ta có: \(A = \vec F \cdot \overrightarrow {MN}  = \left| {\vec F\left|  \cdot  \right|\overrightarrow {MN} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\vec F,\overrightarrow {MN} } \right)\)
vì lực \(\vec F\) có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên \(A\) lớn nhất khi \({\rm{cos}}\left( {\vec F,\overrightarrow {MN} } \right)\) lớn nhất. Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\vec F,\overrightarrow {MN} } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\vec F,\overrightarrow {MN} } \right) = {0^0}\). Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật.

Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.

a) \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left|  \cdot  \right|\vec b} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\vec a,\vec b} \right) = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
b) \(\left( {\vec a + 3\vec b} \right) \cdot \left( {\vec a - 2\vec b} \right) = {\vec a^2} + \vec a \cdot \vec b - 6{\vec b^2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 6 \cdot 1 =  - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({(\vec a + \vec b)^2} = {\vec a^2} + 2\vec a \cdot \vec b + {\vec b^2} = 1 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + \sqrt 2 \)