Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\).
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} \).
b) Tính góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\).
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\).
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} \).
b) Tính góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\).

Quảng cáo
Trả lời:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}\widehat {BAC} = a \cdot a \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ } = \frac{{{a^2}}}{2}.\)
Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Ta lại có \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\), suy ra:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\)b) Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right) \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {CD} \).
Mà \(AM,BM\) là trung tuyến của các tam giác đều \(ACD,BCD\) nên \(\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {CD} \).
Suy ra \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0\).
Từ các kết quả trên ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {90^ \circ }\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt \(\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {OB} = \vec b,\overrightarrow {OC} = \vec c\).
Khi đó, \(\left| {\vec a\left| = \right|\vec b\left| = \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).
Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).
Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) = - \frac{1}{2}.\)
Ta lại có: \(\left| {\overrightarrow {OM} \left| { = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};} \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \).
Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\frac{{\overrightarrow {OM} }}{{\overrightarrow {AC} }} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Vậy \(\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {120^ \circ }\).
Lời giải
a) \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\vec a,\vec b} \right) = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
b) \(\left( {\vec a + 3\vec b} \right) \cdot \left( {\vec a - 2\vec b} \right) = {\vec a^2} + \vec a \cdot \vec b - 6{\vec b^2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 6 \cdot 1 = - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({(\vec a + \vec b)^2} = {\vec a^2} + 2\vec a \cdot \vec b + {\vec b^2} = 1 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + \sqrt 2 \)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.