Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\).

a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AM} \).

b) Tính góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)\).

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}\widehat {BAC} = a \cdot a \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ } = \frac{{{a^2}}}{2}.\)

Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Ta lại có \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\), suy ra:

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\)b) Ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right) \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {CD} \).

Mà \(AM,BM\) là trung tuyến của các tam giác đều \(ACD,BCD\) nên \(\overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB}  \bot \overrightarrow {CD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\).

Từ các kết quả trên ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {90^ \circ }\).