Câu hỏi:

19/08/2025 895 Lưu

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có \(AB = 2,AD = 3\) và \(AA' = 4\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BD'} \).
Media VietJack

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Vì \(B'BAA'\) là hình chữ nhật nên \(BB' = AA' = DD' = 4 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BB'} } \right| = 4\)
Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên tam giác \(BAD\) vuông tại \(A\).
Do đó, \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \) (định lí Pythagore), suy ra: \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \sqrt {13} \)
Vì BB'D'D là hình chữ nhật nên tam giác DD'B vuông tại D
Theo định lí Pythagore ta có: \(BD' = \sqrt {B{D^2} + D{D^{{\rm{'}}2}}}  = \sqrt {13 + {4^2}}  = \sqrt {29}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = \sqrt {29} \)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {OB}  = \vec b,\overrightarrow {OC}  = \vec c\).

Khi đó, \(\left| {\vec a\left|  =  \right|\vec b\left|  =  \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).

Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA}  = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) =  - \frac{1}{2}.\)

Ta lại có: \(\left| {\overrightarrow {OM} \left| { = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};} \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \).

Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\frac{{\overrightarrow {OM} }}{{\overrightarrow {AC} }} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {120^ \circ }\).

Lời giải

a) \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left|  \cdot  \right|\vec b} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\vec a,\vec b} \right) = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
b) \(\left( {\vec a + 3\vec b} \right) \cdot \left( {\vec a - 2\vec b} \right) = {\vec a^2} + \vec a \cdot \vec b - 6{\vec b^2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 6 \cdot 1 =  - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({(\vec a + \vec b)^2} = {\vec a^2} + 2\vec a \cdot \vec b + {\vec b^2} = 1 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + \sqrt 2 \)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP