Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2 . Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vố hướng của mối cập vectơ đó:
a) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C} \)
b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BC} \)
c) \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'A'} \).
a) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C} \)

Quảng cáo
Trả lời:

a) Vì \(AA'//CC'\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C} \) ngược hướng nhau.
Suy ra, \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = {180^ \circ }\).
Do đó, \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {C'C} = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {C'C} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = 2.2 \cdot {\rm{cos}}{180^ \circ } = - 4\)
b) Vì A'ADD' là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'AD} = {90^ \circ }\)
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {A'AD} = {90^ \circ }\)
Ta có: \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 2 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{90^ \circ } = 0\)
c) Vì A'ABB' là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {B'A'} = \overrightarrow {BA} \).
vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {CAB} = {45^ \circ }\) và \(AC = \sqrt 2 \)
Ta có: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'A'} = - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} = - \left| {\overrightarrow {AC} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AB} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = - \sqrt 2 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = - 1\)
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt \(\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {OB} = \vec b,\overrightarrow {OC} = \vec c\).
Khi đó, \(\left| {\vec a\left| = \right|\vec b\left| = \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).
Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).
Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) = - \frac{1}{2}.\)
Ta lại có: \(\left| {\overrightarrow {OM} \left| { = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};} \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \).
Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\frac{{\overrightarrow {OM} }}{{\overrightarrow {AC} }} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left| \cdot \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Vậy \(\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {120^ \circ }\).
Lời giải
a) \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\vec a,\vec b} \right) = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
b) \(\left( {\vec a + 3\vec b} \right) \cdot \left( {\vec a - 2\vec b} \right) = {\vec a^2} + \vec a \cdot \vec b - 6{\vec b^2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 6 \cdot 1 = - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({(\vec a + \vec b)^2} = {\vec a^2} + 2\vec a \cdot \vec b + {\vec b^2} = 1 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + \sqrt 2 \)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.