Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2 . Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vố hướng của mối cập vectơ đó:
a) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C} \)

b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BC} \) 

c) \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'A'} \).

a) Vì \(AA'//CC'\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C} \) ngược hướng nhau.

Suy ra, \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = {180^ \circ }\).
Do đó, \(\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {C'C}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {C'C} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = 2.2 \cdot {\rm{cos}}{180^ \circ } =  - 4\)
b) Vì A'ADD' là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'AD} = {90^ \circ }\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {A'AD} = {90^ \circ }\)
Ta có: \(\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 2 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{90^ \circ } = 0\)
c) Vì A'ABB' là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {B'A'}  = \overrightarrow {BA} \).
vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {CAB} = {45^ \circ }\) và \(AC = \sqrt 2 \)
Ta có: \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {B'A'}  =  - \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - \left| {\overrightarrow {AC} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AB} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) =  - \sqrt 2  \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } =  - 1\)