Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là \({45^ \circ }\), hãy tính:

a) \(\vec a \cdot \vec b\)

b) \(\left( {\vec a + 3\vec b} \right) \cdot \left( {\vec a - 2\vec b} \right)\)

c) \({(\vec a + \vec b)^2}\).

Ta có 1,5 tấn \( = 1500{\rm{\;kg}}\).

Độ lớn của trọng lực tác dụng lên chiếc xe là: \(\left| {\vec P\left| { = m} \right|\vec g} \right| = 1500.9,8 = 14700\) (N).

Vectơ \(\vec d\) biểu thị độ dịch chuyển của xe có độ dài là \(\left| {\vec d} \right| = 30\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) và \(\left( {\vec P,\vec d} \right) = {90^ \circ } - {5^ \circ } = {85^ \circ }\).

Công sinh ra bởi trọng lực \(\vec P\) khi xe đi hết đoạn đường dốc dài \(30{\rm{\;m}}\) là:

\(A = \vec P \cdot \vec d = \left| {\vec P\left|  \cdot  \right|\vec d} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\vec P,\vec d} \right) = 14700.30 \cdot {\rm{cos}}{85^ \circ } \approx 38436\left( J \right)\)

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD\). Gọi \(E\) là điểm thuộc tia \(AB\) sao cho \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {DC} \). Ta có:

\(\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BS} } \right) = \widehat {EBS}\) vuông cân (tại \(S\) ) nên \(\widehat {SBA} = {45^ \circ }\).

Suy ra \(\widehat {EBS} = {180^ \circ } - {45^ \circ } = {135^ \circ }\), hay \(\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} } \right) = {135^ \circ }\).

Mặt khác, do \(AB = a\) nên \(AS = BS = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Từ đó ta có:

Vậy \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {BS}  =  - \frac{{{a^2}}}{2}\).

\(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {BS}  = \left| {\overrightarrow {DC} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {BS} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} } \right)\)

\( = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot {\rm{cos}}{135^ \circ } = {a^2}\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

b) \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {AS}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AS}  = \left| {\overrightarrow {AB} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AS} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\).

c) Tam giác \(ASB\) cân tại \(S\) và \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\) nên \(SM \bot AB\), hay \(\overrightarrow {MS}  \bot \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {MS}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {MS}  = 0\).