Cho hình lâp phương \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của  \({A^\prime }{D^\prime }\) và \({C^\prime }{D^\prime }\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {{C^\prime }B}  = n{a^2}\) ( \(n\) là số thập phân). Giá trị của \(n\) bằng bao nhiêu?

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {OB}  = \vec b,\overrightarrow {OC}  = \vec c\).

Khi đó, \(\left| {\vec a\left|  =  \right|\vec b\left|  =  \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).

Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA}  = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) =  - \frac{1}{2}.\)

Ta lại có: \(\left| {\overrightarrow {OM} \left| { = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};} \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \).

Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\frac{{\overrightarrow {OM} }}{{\overrightarrow {AC} }} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {120^ \circ }\).