Cho hình lập phương \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Gọi \(M,N\)lần lượt là trung điểm của \({A^\prime }{D^\prime }\) và \({C^\prime }{D^\prime }\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {{A^\prime }B} \). Số đo của góc \(\varphi \) bằng bao nhiêu độ?

a) \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left|  \cdot  \right|\vec b} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\vec a,\vec b} \right) = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
b) \(\left( {\vec a + 3\vec b} \right) \cdot \left( {\vec a - 2\vec b} \right) = {\vec a^2} + \vec a \cdot \vec b - 6{\vec b^2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 6 \cdot 1 =  - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({(\vec a + \vec b)^2} = {\vec a^2} + 2\vec a \cdot \vec b + {\vec b^2} = 1 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + \sqrt 2 \)

Ta có 1,5 tấn \( = 1500{\rm{\;kg}}\).

Độ lớn của trọng lực tác dụng lên chiếc xe là: \(\left| {\vec P\left| { = m} \right|\vec g} \right| = 1500.9,8 = 14700\) (N).

Vectơ \(\vec d\) biểu thị độ dịch chuyển của xe có độ dài là \(\left| {\vec d} \right| = 30\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) và \(\left( {\vec P,\vec d} \right) = {90^ \circ } - {5^ \circ } = {85^ \circ }\).

Công sinh ra bởi trọng lực \(\vec P\) khi xe đi hết đoạn đường dốc dài \(30{\rm{\;m}}\) là:

\(A = \vec P \cdot \vec d = \left| {\vec P\left|  \cdot  \right|\vec d} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\vec P,\vec d} \right) = 14700.30 \cdot {\rm{cos}}{85^ \circ } \approx 38436\left( J \right)\)