Câu hỏi:

19/08/2025 296 Lưu

Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Mặt bên \(ASB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và có cạnh \(AB = a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Hãy tính:

a) \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {BS} \);

b) \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {AS} \);

c) \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {MS} \).

(Trả lời ngắn) Cho hình chóp S⋅ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt bên ASB là tam giác vuông cân tại S (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD\). Gọi \(E\) là điểm thuộc tia \(AB\) sao cho \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {DC} \). Ta có:

\(\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BS} } \right) = \widehat {EBS}\) vuông cân (tại \(S\) ) nên \(\widehat {SBA} = {45^ \circ }\).

Suy ra \(\widehat {EBS} = {180^ \circ } - {45^ \circ } = {135^ \circ }\), hay \(\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} } \right) = {135^ \circ }\).

Mặt khác, do \(AB = a\) nên \(AS = BS = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Từ đó ta có:

Vậy \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {BS}  =  - \frac{{{a^2}}}{2}\).

\(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {BS}  = \left| {\overrightarrow {DC} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {BS} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BS} } \right)\)

\( = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot {\rm{cos}}{135^ \circ } = {a^2}\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

b) \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {AS}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AS}  = \left| {\overrightarrow {AB} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AS} } \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\).

c) Tam giác \(ASB\) cân tại \(S\) và \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\) nên \(SM \bot AB\), hay \(\overrightarrow {MS}  \bot \overrightarrow {AB} \). Suy ra \(\overrightarrow {DC}  \cdot \overrightarrow {MS}  = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {MS}  = 0\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {OB}  = \vec b,\overrightarrow {OC}  = \vec c\).

Khi đó, \(\left| {\vec a\left|  =  \right|\vec b\left|  =  \right|\vec c} \right| = 1\) và \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec c = 0\).

Ta có: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}}\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA}  = \vec c - \vec a\) nên \(\overrightarrow {OM}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\vec a + \vec b} \right) \cdot \left( {\vec c - \vec a} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {\vec a \cdot \vec c - {{\vec a}^2} + \vec b \cdot \vec c - \vec b \cdot \vec a} \right) =  - \frac{1}{2}.\)

Ta lại có: \(\left| {\overrightarrow {OM} \left| { = OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2};} \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt 2 \).

Do đó, \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\frac{{\overrightarrow {OM} }}{{\overrightarrow {AC} }} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {OM} \left|  \cdot  \right|\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {120^ \circ }\).

Lời giải

a) \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left|  \cdot  \right|\vec b} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {\vec a,\vec b} \right) = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
b) \(\left( {\vec a + 3\vec b} \right) \cdot \left( {\vec a - 2\vec b} \right) = {\vec a^2} + \vec a \cdot \vec b - 6{\vec b^2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 6 \cdot 1 =  - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\({(\vec a + \vec b)^2} = {\vec a^2} + 2\vec a \cdot \vec b + {\vec b^2} = 1 + 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + \sqrt 2 \)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP