Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₃ ∈ [290; 330). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_1} = 290 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 3}}{{13}}(330 - 290) = \frac{{4150}}{{13}}\]

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [370; 410). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_3} = 370 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} - (3 + 13 + 18)}}{{11}}(410 - 370) = \frac{{4210}}{{11}}\]

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{\Delta _Q} = \frac{{4210}}{{11}} - \frac{{4150}}{{13}} = \frac{{9080}}{{143}}\]

Câu 2/19

Bạn Trang thống kê lại chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và lớp 12D ở bảng sau:

Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì chiều cao của học sinh lớp nào có độ phân tán lớn hơn?

Lời giải

Cỡ mẫu \(n = 25\)

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp \(12{\rm{C}}\) được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1};{x_2} \in [155;160);{x_3}; \ldots ;{x_9} \in [160;165);{x_{10}}; \ldots ;{x_{21}} \in [165;170);{x_{22}}; \ldots ;{x_{24}} \in [170;175)\); \({x_{25}} \in [180;185)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 2}}{7}(165 - 160) = \frac{{4565}}{{28}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (2 + 7)}}{{12}}(170 - 165) = \frac{{2705}}{{16}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{675}}{{12}}\)

Gọi \({y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp \(12{\rm{D}}\) được xếp theo thứ tự không giảm.

та có: \({y_1};{y_2}; \ldots ;{y_5} \in [155;160);{y_6}; \ldots ;{y_{14}} \in [160;165);{y_{15}}; \ldots ;{y_{22}} \in [165;170)\);

\({y_{23}};{{\rm{y}}_{24}} \in [170;175);{y_{25}} \in [175;180)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{y_6} + {y_7}} \right) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(Q_1^\prime = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 5}}{9}(165 - 160) = \frac{{5785}}{{36}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}^\prime = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (5 + 9)}}{8}(170 - 165) = \frac{{5375}}{{32}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{2095}}{{288}}\)

Có \({\Delta _Q}^\prime > {\Delta _Q}\) nên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp \(12{\rm{D}}\) có độ phân tán lơn hơn lớp \(12{\rm{C}}\)

Câu 3/19

Hằng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan

a) Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Biết rằng trong 100 lần đi trên, chỉ có đúng một lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút. Thời gian của lần đi đó có phải là giá trị ngoại lệ không?

c) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở trên sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ. Em có nhận xét gì về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị vừa tìm được và khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị ban đầu?

Lời giải

a) Cỡ mẫu n = 100.

Gọi x₁; x₂; …; x₁₀₀ là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần đi xe buýt của ông Thắng.

Ta có: x₁, …, x₂₂ ∈ [15; 18); x₂₃, …, x₆₀ ∈ [18; 21); x₆₁, …, x₈₇ ∈ [21; 24); x₈₈, …, x₉₅ ∈ [24; 27); x₉₆, …, x₉₉ ∈ [27; 30); x₁₀₀ ∈ [30; 33).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \[\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}})\] ∈ [18; 21). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}\]

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \[\frac{1}{2}\] (x75 + x76) ∈ [21; 24). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}\]

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[{\Delta _Q} = \frac{{68}}{3} - \frac{{693}}{{38}} = \frac{{505}}{{114}}\]

b) Trong lần duy nhất ông Thắng đi hết hơn 29 phút, thời gian đi của ông thuộc nhóm [30; 33).

Vì Q₃ + 1,5∆Q =\[\frac{{6683}}{{228}}\] < 30 nên thời gian của lần ông Thắng đi hết hơn 29 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên \(R = 33 - 15 = 18\) (phút)

Tа có: \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{22}} \in [15;18);{x_{23}}; \ldots ;{x_{60}} \in [18;21);{x_{61}}; \ldots ;{x_{87}} \in [21;24)\);

\({x_{88}}; \ldots ;{x_{95}} \in [24;27);{x_{96}}; \ldots ;{x_{99}} \in [27;30);{x_{100}} \in [30;33)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in [18;21)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in [21;24)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{505}}{{114}}\)

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\)

Hay \(x > \frac{{39}}{2} + 1,5 \cdot \frac{{24}}{{19}} = 21,39\) hoă̆c \(x < \frac{{693}}{{38}} - 1,5 \cdot \frac{{24}}{{19}} = 16,34\)

Vậy các giá trị ngoại lệ thuộc khoảng \([15;18);[24;27);[27;30);[30;33)\)

Khoảng biến thiên của mẵu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ: 24 - \(18 = 6\) (phút)

Gọi \({z_1};{z_2}; \ldots ;{z_{65}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 65 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm, sau khi đā loại bỏ các giá trị ngoại lệ

Ta có: \({z_1};{z_2}; \ldots ,{z_{38}} \in [18;21);{z_{30}}; \ldots ;{x_{65}} \in [21;24)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({z_{17}} \in [18;21)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẵu sô liệu ghép nhóm là: \({Q_1}^{\prime \prime } = 18 + \frac{{\frac{{65}}{4}}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{2931}}{{152}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({z_{50}} \in [21;24)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}^{\prime \prime } = 21 + \frac{{\frac{{3.65}}{4} - 38}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{799}}{{36}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}^{\prime \prime } = {Q_3}^{\prime \prime } - {Q_1}^{\prime \prime } = 2,91\)

Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên mới giảm mạnh còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hường nhiểu

Câu 4/19

Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2022 của một số hộ gia đình trong một địa phương được ghi lại ở bảng sau:

Tổng thu nhập

(triệu đồng)

[200; 250)

[250; 300)

[300; 350)

[350; 400)

[400; 450)

Số hộ gia đình

24

62

34

21

9

a) Hãy tìm các tứ phân vị Q1 và Q3.

b) Một doanh nghiệp địa phương muốn hướng dịch vụ của mình đến các gia đình có mức thu nhập ở tầm trung, tức là 50% các hộ gia đình có mức thu nhập ở chính giữa so với tất cả các hộ gia đình của địa phương. Hỏi doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng nào?

Lời giải

a) Cỡ mẫu \(n = 150\)

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{150}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thu nhập của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.

та có: \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{24}} \in [200;250);{x_{25}}; \ldots ;{x_{86}} \in [250;300);{x_{87}}; \ldots ;{x_{120}} \in [300;350)\);

\({x_{121}}; \ldots ;{x_{141}} \in [350;400);{x_{142}}; \ldots ;{x_{150}} \in [400;450)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{38}} \in [250;300)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 250 + \frac{{\frac{{150}}{4} - 24}}{{62}}(300 - 250) = \frac{{16175}}{{62}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{113}} \in [300;350)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 300 + \frac{{\frac{{3.150}}{4} - (24 + 62)}}{{34}}(350 - 300) = \frac{{11525}}{{34}}\)

b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng \(\left[ {{Q_1};{Q_3}} \right) = [260,89;338,97)\) (triệu đồng)

Câu 5/19

Hãy so sánh khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình và bác An mỗi ngày trong tháng 9/2022 được thống kê trong biểu đồ dưới đây:

Lời giải

Cỡ mẫu \(n = 30\);

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}} \in [20;25);{x_{26}}; \ldots ;{x_{30}} \in [25;30)\);

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{43}}{2}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{23}} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{49}}{2}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3\)

Gọi \({y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{30}}\) là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thề dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({y_1};{y_2}; \ldots ;{y_5} \in [15;20);{y_6}; \ldots ;{y_{17}} \in [20;25);{y_{18}}; \ldots ;{y_{25}} \in [25;30);{y_{26}};{y_{27}};{y_{28}} \in [30;35)\); \({y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({y_8} \in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(Q_1^\prime = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{12}}(25 - 20) = \frac{{185}}{8}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{23}} \in [25;30)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}^\prime = 25 + \frac{{\frac{{3.00}}{4} - (5 + 12)}}{8}(30 - 25) = \frac{{455}}{{16}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{85}}{{16}}\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An

Câu 6/19

Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực A và B về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của từng mẫu số liệu ghép nhóm ứng với mỗi khu vực A và B.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực nào có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn?

Lời giải

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: 34 - \(19 = 15\) (tuổi)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: 31 - \(19 = 12\) (tuổi)

Cơ mẫu \(n = 100\)

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực \({\rm{A}}\) được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{10}} \in [19;22);{x_{11}}; \ldots ;{x_{37}} \in [22;25);{x_{38}}; \ldots ;{x_{68}} \in [25;28);{x_{69}}; \ldots ;{x_{93}} \in [28;31)\); \({x_{94}}; \ldots ;{x_{100}} \in [31;34)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}}(25 - 22) = \frac{{71}}{3}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in [28;31)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (10 + 27 + 31)}}{{25}}(31 - 28) = \frac{{721}}{{25}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{388}}{{75}}\)

Gọi \({y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực \({\rm{B}}\) được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{47}} \in [19;22);{y_{48}}; \ldots ;{y_{87}} \in [22;25);{y_{88}}; \ldots ;{y_{98}} \in [25;30);{y_{99}};{y_{100}} \in [28;31)\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{y_{25}} + {y_{26}}} \right) \in [19;22)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}^\prime = 19 + \frac{{\frac{{100}}{4}}}{{47}}(22 - 19) = \frac{{968}}{{47}}\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{y_{75}} + {y_{76}}} \right) \in [22;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}^\prime = 22 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 47}}{{40}}(25 - 22) = \frac{{241}}{{10}}\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}^\prime = {Q_3}^\prime - {Q_1}^\prime = \frac{{1647}}{{470}}\)

b) Có \({\Delta _Q}^\prime < {\Delta _Q}\) nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn

Câu 7/19