Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \[h\] (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm \[t\] (giờ) trong một ngày bởi công thức \[h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12\]. Mực nước của kênh cao nhất khi \[t\] bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 3375

Gọi \[{u_1};{u_2};{u_3}\] theo thứ tự là ba số cần tìm lập thành một cấp số nhân.

Vì tổng của \[{u_1};{u_2};{u_3}\] là \[65\], do đó \[{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\].

Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và \[19\] đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng nên ta có phương trình sau:

\[{u_1} - 1 + {u_3} - 19 = 2{u_2}\] hay \[{u_1} - 2{u_2} + {u_3} = 20\].

Từ đây ta có hệ phương trình sau:

\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\\{u_1} - 2{u_2} + {u_3} = 20\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\\3{u_2} = 45\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\\{u_2} = 15\end{array} \right.\].

Lúc này, suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 50\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 50\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + {q^2}}}{q} = \frac{{10}}{3}\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\].

Vì \[{u_1};{u_2};{u_3}\] theo thứ tự là một cấp số nhân tăng nên \[q = 3\] thỏa mãn.

Khi đó, \[{u_1} = 5;{u_2} = 15;{u_3} = 45.\]

Tích ba số đó là: \[5.15.45 = 3375\].

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[f\left( x \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - 1\]

\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\sin 2x + 2\sin x - \cos x - 1\].

Tập xác định của hàm số: \[D = \mathbb{R}.\]

Lấy \[x \in D\] và \[ - x \in D\], ta có:

\[2\sin \left( { - 2x} \right) + 2\sin \left( { - x} \right) - \cos \left( { - x} \right) - 1 = - 2\sin 2x - 2\sin x - \cos x - 1\].

Suy ra \[f\left( x \right) \ne f\left( { - x} \right)\].

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

b) Ta có: \[f\left( x \right) = 0\] \[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\cos x + 1 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x = - 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Nhận thấy, với \[k = - 1\] thì phương trình có các nghiệm âm là:

\[x = \frac{{ - 11\pi }}{6};x = \frac{{ - 7\pi }}{6};x = - \pi \].

c) Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình \[f\left( x \right) = 0\] là \[x = - \pi \].

Xét trên nửa khoảng \[\left[ { - 2\pi ;3\pi } \right)\], ta thấy:

\[ - 2\pi \le \frac{\pi }{6} + k2\pi < 3\pi \] \[ \Leftrightarrow \frac{{ - 13\pi }}{6} \le k2\pi < \frac{{17\pi }}{6}\] \[ \Leftrightarrow \frac{{ - 13}}{{12}} \le k < \frac{{17}}{{12}}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\].

Do đó \[x \in \left\{ { - \frac{{11\pi }}{6};\frac{\pi }{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\] (1).

Tương tự \[ - 2\pi  \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi < 3\pi \] \[ \Leftrightarrow - \frac{{17}}{{12}} \le k < \frac{{13}}{{12}}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\].

Do đó \[x \in \left\{ { - \frac{{7\pi }}{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{17\pi }}{6}} \right\}\] (2).

Tương tự, có \[ - 2\pi \le \pi + k2\pi < 3\pi \] \[ \Leftrightarrow - \frac{3}{2} \le k < 1\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\].

Do đó \[x \in \left\{ { - \pi ;\pi } \right\}\] (3).

d) Từ (1), (2), (3) ta tính được tổng các nghiệm bằng \[3\pi \].