Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 1;0;2} \right)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 12. Biết độ dài của \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) bằng \(a\sqrt 6 \). Tìm \(a\).

Bạn An đang nằm nghe nhạc trong phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng 4 m, chiều cao của phòng là 3,2 m và phát hiện ra hai con nhện đang chăng tơ trong căn phòng của An, hai con nhện luôn di chuyển trên hai đường thẳng khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với \(ABCD\) là nền phòng của An thì con nhện thứ nhất được coi như điểm \(E\)di chuyển trên đường dây tơ nối từ đỉnh \(A\) đến trung điểm \(M\) của \(CC'\), còn con nhện thứ hai được coi như điểm \(F\) di chuyển trên đường dây tơ nối từ \(D'\) đến tâm \(I\) của mặt \(ABB'A'\). Tính khoảng cách giữa hai con nhện khi đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà (đơn vị mét).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( { - 2;5;3} \right),C\left( {3;4;9} \right)\).

(a) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};4} \right)\).

(b) Đoạn \(AB\) cắt mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) tại điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó \(a + b + c = 6\).

(c) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 6; - 3} \right)\).

(d) Với điểm \(D\left( {6; - 2;6} \right)\) thì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 100 cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng \(x\) cm (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm \(x\) để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (đơn vị cm).

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi \(I\left( {m;n} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho. Giá trị của \(m + n\) bằng bao nhiêu?

Kết quả đo chiều cao (đơn vị: cm) của 25 học sinh nam lớp 12 ở một trường THPT được biểu diễn bởi mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng sau:

( a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(R = 5\) cm.

(b) Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {155;160} \right)\) là 158.

(c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(s = 29,84\).

(d) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 167,9.

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 3;1} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1;1;2} \right)\). Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng bao nhiêu?