Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 100 cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng \(x\) cm (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm \(x\) để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (đơn vị cm).

Ta có \({\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} + 2.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} + 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + 2.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right) + 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = {12^2} + {12^2} + {12^2} + 2.12.12.\cos 60^\circ + 2.12.12.\cos 60^\circ + 2.12.12.\cos 60^\circ \)\( = 864\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = 12\sqrt 6 \). Do đó \(a = 12\).

Trả lời: \(12\).

Gắn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ.

Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),A'\left( {0;0;3,2} \right),M\left( {4;4;1,6} \right),D'\left( {0;4;3,2} \right),I\left( {2;0;1,6} \right)\) .

Gọi \(E\left( {x;y;z} \right),F\left( {m;n;p} \right)\) .

Giả sử \(\overrightarrow {AE} = a\overrightarrow {AM} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4a\\y = 4a\\z = 1,6a\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {4a;4a;1,6a} \right)\) .

\(\overrightarrow {D'F} = b\overrightarrow {D'I} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2b\\n - 4 = - 4b\\p - 3,2 = - 1,6b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2b\\n = 4 - 4b\\p = 3,2 - 1,6b\end{array} \right.\)\( \Rightarrow F\left( {2b;4 - 4b;3,2 - 1,6b} \right)\) .

Ta có \(\overrightarrow {EF} = \left( {2b - 4a;4 - 4b - 4a;3,2 - 1,6b - 1,6a} \right)\) , \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;3,2} \right)\) .

Đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà thì \(\overrightarrow {EF} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AA'} \) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}2b - 4a = 0\\4 - 4b - 4a = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{array} \right.\) . Khi đó \(\overrightarrow {EF} = \left( {0;0;1,6} \right) \Rightarrow EF = 1,6\) .

Vậy khoảng cách giữa hai con nhện bằng 1,6 m.