Một cơ quan hành chính nhà nước thực hiện việc tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là \[65\% \] và \[35\% \]. Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là\[10\% \], nhóm cao đẳng là \[15\% \]. Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì hãy tính xác suất để người này có trình độ đại học (kết quả là một số thập phân nhỏ hơn 1 đã làm tròn đến hàng phần trăm).

a) Đúng. Do phân xưởng thứ nhất sản xuất \(60{\rm{\% }}\) tổng số sản phẩm của cả nhà máy nên xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là 0,6.

b) Đúng. Gọi A là biến cố “Chọn được sản phẩm từ phân xưởng thứ nhất”,

\(\overline A \) là biến cố “Chọn được sản phẩm từ phân xưởng thứ hai”.

B là biến cố “Chọn được sản phẩm là phế phẩm”.

Khi đó: \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( {\overline A } \right) = 0,4\);

\(P\left( {B\mid A} \right) = 0,16;P\left( {\overline B \mid A} \right) = 0,84;P\left( {B\mid \overline A } \right) = 0,2\).

Áp dụng công thức tính xác suất tính xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\mid \overline A } \right)\)

\( = 0,6.0,16 + 0,4.0,2 = 0,176\).

Vậy xác suất lấy được phế phẩm là 0,176.

c) Đúng. Chọn được phế phẩm, biến cố phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là \(A\mid B\), áp dụng công thức Bayes, ta được:

\(P\left( {A\mid B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6.0,16}}{{0,176}} = \frac{6}{{11}} \approx 0,55\).

d) Sai. Khi lấy được sản phẩm tốt, để so sánh khả năng sản phẩm thuộc phân xưởng, ta tính xác suất để sản phẩm tốt được chọn ấy thuộc phân xưởng thứ nhất

Từ ý a) suy ra \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,176 = 0,824\).

Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {A\mid \overline B } \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B \mid A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,6.0,84}}{{0,824}} \approx 0,61\).

Vậy khả năng sản phẩm tốt được chọn từ phân xưởng thứ nhất cao hơn.

Gọi các biến cố:

\({A_1}\): “Học sinh được chọn đạt huy chương vàng”;

\({A_2}\): “Học sinh được chọn đạt huy chương bạc”;

\({A_3}\): “Học sinh được chọn đạt huy chương đồng”;

B: “Học sinh được chọn học lớp 12 và đạt huy chương”.

Theo đề bài, ta có

\(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{15}}{{500}} = 0,03;P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{80}}{{500}} = 0,16;\)

\(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{500.60{\rm{\% }} - \left( {15 + 80} \right)}}{{500}} = 0,41\);

\(P\left( {B\mid {A_1}} \right) = \frac{6}{{300}} = 0,02;P\left( {B\mid {A_2}} \right) = \frac{{24}}{{300}} = 0,08;P\left( {B\mid {A_3}} \right) = \frac{{500.9{\rm{\% }}}}{{300}} = 0,15\).

Do đó, theo công thức Bayes, xác suất chọn được một học sinh đạt huy chương đồng nếu biết học sinh đó là học sinh lớp 12 và đạt huy chương là

\(P\left( {{A_3}\mid B} \right) = \frac{{P\left( {B\mid {A_3}} \right).P\left( {{A_3}} \right)}}{{P\left( {B\mid {A_1}} \right).P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {B\mid {A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {B\mid {A_3}} \right).P\left( {{A_3}} \right)}}\)

                \( = \frac{{0,15.0,41}}{{0,02.0,03 + 0,08.0,16 + 0,15.0,41}} \approx 82{\rm{\% }}\).

Vậy \(a = 82\).

Đáp án: 82.