Trong các hệ phương trình dưới đây, hệ phương trình nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AM.\) Khi đó \(AI = MI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AHM\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(HI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AKM\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(KI = \frac{1}{2}AM.\)

Do đó \(AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM\) nên bốn điểm \(A,H,M,K\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I,\) đường kính \(AM\).

Hay \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(HI\) và đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AM.\)

Suy ra \(\widehat {HKN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta HKN\) vuông tại \(K\)

Ta có \(HK = HN.\sin \widehat {HNK}\)

Mà \(HN = AM\) (cùng là đường kính của đường tròn tâm \(I\))

Và \(\widehat {HNK} = \widehat {HAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\) của đường tròn tâm \(I\))

Suy ra \[HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.\]

c) Ta có \(\Delta ABC\) cố định nên \(\sin \widehat {BAC}\) không đổi

Do đó từ \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\), để \(HK\) dài nhất thì \(AM\) dài nhất mà \(AM\) là dây của đường tròn \(\left( O \right)\)

Nên \(AM\) dài nhất khi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\)

Do đó \(M\) đối xứng với \(A\) qua \(\left( O \right)\).

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là \[x\] và \[y\] (\[0 < x < 150;\,\,0 < y < 150\]).

Khi đó, ta có chu vi của mảnh đất hình chữ nhật đó là \[300\] mét, suy ra \[x + y = \frac{{300}}{2} = 150{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Diện tích của mảnh đất là \[S = xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

⦁ Chứng minh bổ đề: \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\] với mọi \(x > 0,\,\,y > 0.\)

Thật vậy, với mọi \(x > 0,\,\,y > 0,\) ta có:

 \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\]

    \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\]

    \[{x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy \ge 0\]

    \[{\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0\]

   \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\].

Đẳng thức xảy ra khi \[x = y.\]

⦁ Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

\[S = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\]

Suy ra \[S \le \frac{{{{150}^2}}}{4} = 5\,\,625\].

Dấu bằng xảy ra khi \[x = y = \frac{{150}}{2} = 75\] (thỏa mãn).

Khi đó, diện tích lớn nhất \[S = 5\,\,625{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\] khi \[x = y = 75{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Vậy tể tưởng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình hình vuông có cạnh \[75{\rm{ m}}\] để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.