Trong các hệ phương trình dưới đây, hệ phương trình nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AM.\) Khi đó \(AI = MI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AHM\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(HI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AKM\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(KI = \frac{1}{2}AM.\)

Do đó \(AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM\) nên bốn điểm \(A,H,M,K\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I,\) đường kính \(AM\).

Hay \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(HI\) và đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AM.\)

Suy ra \(\widehat {HKN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta HKN\) vuông tại \(K\)

Ta có \(HK = HN.\sin \widehat {HNK}\)

Mà \(HN = AM\) (cùng là đường kính của đường tròn tâm \(I\))

Và \(\widehat {HNK} = \widehat {HAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\) của đường tròn tâm \(I\))

Suy ra \[HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.\]

c) Ta có \(\Delta ABC\) cố định nên \(\sin \widehat {BAC}\) không đổi

Do đó từ \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\), để \(HK\) dài nhất thì \(AM\) dài nhất mà \(AM\) là dây của đường tròn \(\left( O \right)\)

Nên \(AM\) dài nhất khi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\)

Do đó \(M\) đối xứng với \(A\) qua \(\left( O \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Với \(a \ge 0,\,\,a \ne 4,\,\,a \ne 9\), ta có:

\(A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{a - 9}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4 - a + 9 - 9 + a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).

Vậy với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4,{\rm{ }}a \ne 9\) ta được \(P = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).

b) Ta có: \(A + \left| A \right| = 0\) suy ra \(\left| A \right| = - A\).

Do đó, \(A \le 0\) hay \(\frac{3}{{\sqrt a - 2}} \le 0\) suy ra \(\sqrt a - 2 < 0\) do đó \(\sqrt a < 2\).

Suy ra \(0 \le a < 4\).

Vậy \(0 \le a < 4\) là giá trị cần tìm.