(1,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) nhọn có ba đỉnh nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\). Điểm \(M\) di động trên cung nhỏ \(BC\). Vẽ \(MH\) vuông góc với \(AB\) ở \(H\), \(MK\) vuông góc với \(AC\) ở \(K\).
a) Chứng minh rằng \(AM\) là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)
b) Chứng minh rằng \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\)
c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cung nhỏ \(BC\) để \(HK\)dài nhất.
(1,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) nhọn có ba đỉnh nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\). Điểm \(M\) di động trên cung nhỏ \(BC\). Vẽ \(MH\) vuông góc với \(AB\) ở \(H\), \(MK\) vuông góc với \(AC\) ở \(K\).
a) Chứng minh rằng \(AM\) là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)
b) Chứng minh rằng \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\)
c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cung nhỏ \(BC\) để \(HK\)dài nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AM.\) Khi đó \(AI = MI = \frac{1}{2}AM.\)
Xét \(\Delta AHM\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(HI = \frac{1}{2}AM.\)
Xét \(\Delta AKM\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(KI = \frac{1}{2}AM.\)
Do đó \(AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM\) nên bốn điểm \(A,H,M,K\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I,\) đường kính \(AM\).
Hay \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(HI\) và đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AM.\)
Suy ra \(\widehat {HKN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta HKN\) vuông tại \(K\)
Ta có \(HK = HN.\sin \widehat {HNK}\)
Mà \(HN = AM\) (cùng là đường kính của đường tròn tâm \(I\))
Và \(\widehat {HNK} = \widehat {HAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\) của đường tròn tâm \(I\))
Suy ra \[HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.\]
c) Ta có \(\Delta ABC\) cố định nên \(\sin \widehat {BAC}\) không đổi
Do đó từ \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\), để \(HK\) dài nhất thì \(AM\) dài nhất mà \(AM\) là dây của đường tròn \(\left( O \right)\)
Nên \(AM\) dài nhất khi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\)
Do đó \(M\) đối xứng với \(A\) qua \(\left( O \right)\).
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,15
Điều kiện xác định: \(x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 1\).
Thay \(x = \frac{1}{{25}}\) (thỏa mãn ĐKXĐ) vào \(A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\), ta có:
\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{25}}} \left( {\sqrt {\frac{1}{{25}}} + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt {\frac{1}{{25}}} } \right)}} = \frac{{\frac{1}{5}\left( {\frac{1}{5} + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{{\frac{1}{5} \cdot \frac{6}{5}}}{{2 \cdot \frac{4}{5}}} = \frac{6}{{25}}:\frac{8}{5} = \frac{3}{{20}} = 0,15\).
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
Gọi \(x\) là số học sinh của lớp 9A, \(y\) là số học sinh của lớp 9B \(\left( {x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\).
• Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là học sinh nên ta có phương trình \(x + y = 86{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Do đó, ý a) là đúng.
• Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {x - 3} \right) = 2x + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {y - 3} \right) = 2y + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).
Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A \({\rm{8 kg}}\) giấy báo cũ nên ta có phương trình:
\(2y + 9 - 2x - 9 = 8\) suy ra \(2y - 2x = 8\) hay \(y - x = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Do đó, ý b) là sai.
• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.\).
Do đó, ý c) là đúng.
• Cộng theo vế hai phương trình ta được \(2y = 90\), suy ra \(y = 45\) (TM).
Thay \(y = 45\) vào phương trình (1), ta được \(x + 45 = 86\), suy ra \(x = 41\) (TM).
Vậy lớp 9A có \(41\) học sinh, lớp 9B có \(45\) học sinh.
Do đó, ý d) là đúng.
Câu 3
A. \(\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x + 3}}.\)
B. \(\frac{5}{{x - 1}} = \frac{2}{{x - 3}}.\)
C. \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}} = 2.\)
D. \(\frac{2}{{x + 1}} = \frac{3}{{x - 3}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\sqrt {{a^2}} = a.\)
B. \(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|.\)
C. \(\sqrt a = \left| a \right|.\)
D. \(\sqrt {{a^2}} = - a.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo