(0,5 điểm) Nam làm một chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật bằng bìa carton có thể tích \(3{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\). Biết tỉ số giữa chiều cao \(h\) và chiều rộng đáy \(y\) bằng \(4\). Xác định chiều dài \(x\) để lượng bìa cần sử dụng là ít nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 35

Gọi vận tốc của hai xe đi từ \(A\) và \(B\) lần lượt là \(x,\,y{\rm{ }}\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Điều kiện \(y > 5,\,x > 0.\)

Theo đề, hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm \(A,\,\,B\) cách nhau \(130\,\,{\rm{km}}\)và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có \(2x + 2y = 130\) (1)

Mà xe đi từ \(B\) có vận tốc nhanh hơn xe đi từ \(A\) là \(5{\rm{ km/h}}\) nên \(y - x = 5\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 130\\y - x = 5\end{array} \right.\).

Từ (2) có \(y = 5 + x\) thay vào (1) được: \(2x + 2\left( {5 + x} \right) = 130\).

Suy ra \(4x = 120\) nên \(x = 30\) (thỏa mãn).

Do đó, \(y = 30 + 5 = 35\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc xe đi từ \(A\) có vận tốc 30 km/h, xe đi từ \(B\) có vận tốc 35 km/h.

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AM.\) Khi đó \(AI = MI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AHM\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(HI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AKM\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(KI = \frac{1}{2}AM.\)

Do đó \(AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM\) nên bốn điểm \(A,H,M,K\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I,\) đường kính \(AM\).

Hay \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(HI\) và đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AM.\)

Suy ra \(\widehat {HKN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta HKN\) vuông tại \(K\)

Ta có \(HK = HN.\sin \widehat {HNK}\)

Mà \(HN = AM\) (cùng là đường kính của đường tròn tâm \(I\))

Và \(\widehat {HNK} = \widehat {HAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\) của đường tròn tâm \(I\))

Suy ra \[HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.\]

c) Ta có \(\Delta ABC\) cố định nên \(\sin \widehat {BAC}\) không đổi

Do đó từ \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\), để \(HK\) dài nhất thì \(AM\) dài nhất mà \(AM\) là dây của đường tròn \(\left( O \right)\)

Nên \(AM\) dài nhất khi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\)

Do đó \(M\) đối xứng với \(A\) qua \(\left( O \right)\).