Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Phương trình chính tắc của đường thẳng d₃ đi qua M(1; −1; 2) và vuông góc với cả d₁; d₂ có dạng . Tính a + b + c.

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục d của nòng súng có phương trình và hồng tâm A(8; −19; 6m + 4). Hỏi m bằng bao nhiêu vận động viên đó bắn trúng hồng tâm?

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng và . Gọi là góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂. Giá trị có dạng . Tính giá trị biểu thức .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; −2; 1), N(0; 1; 3). Phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N là

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng . Đường thẳng đi qua A và song song với d có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 1; 2) và đường thẳng .

(a) Điểm A không thuộc đường thẳng △.

(b) Một vectơ chỉ phương của △ là .

(c) Hình chiếu của A lên đường thẳng △ là H(0; −1; 2).

(d) Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng △ là .

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ; .

(a) Khi m = 0, số đo góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 135°.

(b) .

(c) Đường thẳng △ đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P): 2x + 2y + z – 4 = 0 tạo với đường thẳng d₁ một góc α có .

(d) Khi là phân số tối giản, số đo góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 90°. Giá trị biểu thức .