Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD,BC;G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).

b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).

Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích \(V\) (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng \(t\) (phút) được cho bởi công thức

\(V(t) = 300\left( {{t^2} - {t^3}} \right) + 4{\rm{; }}0 \le t \le 0,5.\)

a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?

b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?

c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi \(V'(t)\) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm \(t\) với \(0 \le t \le 0,5\). Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?

Ông Thanh nuôi cá chim ở một cái ao có diện tích là \(50\;{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Vụ trước ông nuôi với mật độ là \(20\) con/m² và thu được 1,5 tấn cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thì cứ thả giảm đi 8 \({\rm{con/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng lên 0,5kg. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu con cá giống để được tổng năng suất khi thu hoạch là cao nhất? Giả sử không có hao hụt khi nuôi.

Cho tam giác \(ABC\) có \(A(7;3;3),B(1;2;4),C(2;3;5)\).

a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC\).

b) Tìm độ dài cạnh \(AB\) và \(AC\).

c) Tính góc \(A\).

Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{2}{t^3} + 6{t^2}\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(6\) giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu?

Trong Vật lí, ta biết rằng nếu lực \(\vec F\) tác động vào một vật và làm vật dịch chuyển theo đoạn thẳng từ \(M\) đến \(N\), thì công \(A\) sinh bởi lực \(\vec F\) được tính bằng công thức \(A = \vec F \cdot \overrightarrow {MN} \).

Trong không gian \(Oxyz\), một người tác động một lực không đổi \(\vec F = (2;3; - 1)\) vào một vật đang ở gốc toạ độ \(O\) và làm cho vật dịch chuyển thẳng từ \(O\) đến điểm \(M(1;2;1)\). Biết lực tính bằng newton (N) và đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét, làm thế nào để tính công \(A\) (đơn vị: J) sinh ra bởi lực \(\vec F\) trong tình huống này?

Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\]có độ dài tất cả các cạnh bằng \(a\). Tính các tích vô hướng sau:

a) \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BC} \)                                                                                       

b) \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} \).

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 1\) trên nửa khoảng \([ - 1; + \infty )\).