Tìm các số tự nhiên \(n\) để mỗi cặp số sau là hai số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là \(1).\)

b) \(n + 3\) và \(6n + 1\).

c) Ta có: \[xy + 2x + 3y = 0\]

 \(x\left( {y + 2} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 6\)

\(\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\).

Với \(x \in \mathbb{Z},\) từ \(\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\) ta có \(x + 3 \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\, - 1;\,\,2;\, - 2;\,\,3;\, - 3;\,\,6;\, - 6} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 4;\,\, - 8} \right);\,\,\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\left( { - 5;\,\, - 5} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( { - 6;\,\, - 4} \right);\,\,\left( {3;\,\, - 1} \right);\,\,\left( { - 9;\,\, - 3} \right)} \right\}.\)

Gọi ƯCLN\(\left( {5a + 2b,\,\,7a + 3b} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),\) suy ra \(\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\).

⦁ Từ \(\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(3\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {15a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(2\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {14a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Do đó \(\left[ {\left( {15a + 6b} \right) - \left( {14a + 6b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(a\,\, \vdots \,\,d\) (1).

⦁ Từ \(\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(7\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {35a + 14b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta có \(5\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(\left( {35a + 15b} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Do đó \(\left[ {\left( {35a + 15b} \right) - \left( {35a + 14b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\) hay \(b\,\, \vdots \,\,d\) (2).

⦁ Từ (1) và (2) suy ra \(d = \)ƯC\(\left( {a,\,\,b} \right)\).

Mà \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN\(\left( {a,\,\,b} \right) = 1.\) Do đó \(d = 1.\)

Vậy \(5a + 2b\) và \(7a + 3b\) là hai số nguyên số cùng nhau.