PHẦN IV. Câu hỏi tự luận. Thí sinh trình bày lời giải vào giấy làm bài.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SC\). Điểm \(N\) thuộc cạnh \(SB\) sao cho \(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3}\). Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \((MNP)\). Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}x = {x_A} + {x_B} = 5\cos \left( {50\pi t - \frac{\pi }{6}} \right) + 5\cos \left( {50\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 2 \cdot 5\cos \left( {50\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right)\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right){\rm{ }}\\ \Rightarrow {\rm{ }}x = 5\sqrt 2 \cos \left( {50\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right)\end{array}\)

Ta có \(x = 5\sqrt 2 \cos \left( {50\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right) \le 5\sqrt 2 \). Vậy sóng tổng hợp cao nhất khi \(\cos \left( {50\pi t + \frac{\pi }{{12}}} \right) = 1 \Leftrightarrow 50\pi t + \frac{\pi }{{12}} = k2\pi  \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{{600}} + \frac{k}{{25}}\) (giây) với \(k \in {\mathbb{N}^*}\).

(Đúng) Đường thẳng \(BC\) song song với \((SAD\)
(Vì): Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC\not  \subset (SAD)}\\{BC\parallel AD}\\{AD \subset (SAD)}\end{array}} \right.\) nên \(BC\parallel (SAD)\).
(Sai) \(MO\) là giao tuyến của \((SAC)\) và \((SBD)\)
(Vì):
\( \bullet \) Ta có \(S \in (SBD) \cap (SAC)(1)\).
\( \bullet \) Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O \in AC \subset (SAC)}\\{O \in BD \subset (SBD)}\end{array}} \right. \Rightarrow O \in (SBD) \cap (SAC)(2)\).
Từ \((1)\) và \((2)\), suy ra \((SBD) \cap (SAC) = SO\).
(Sai) Đường thẳng \(BM\) song song với \((SAD)\)
(Vì):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SBC) \cap (SAD)}\\{BC \subset (SBC),AD \subset (SAD)}\\{BC\parallel AD}\end{array}} \right. \Rightarrow (SBC) \cap (SAD) = d\parallel BC\parallel AD\;(d{\rm{ di qua }}S)\).
Trong \((SBC)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(BM\) và \(d\). Khi đó
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in BM}\\{I \in d \subset (SAD)}\end{array}} \right. \Rightarrow BM \cap (SAD) = I\).
(Sai) Gọi \(N\) là điểm thuộc cạnh \(SB\) sao cho \(SN = \frac{1}{3}SB\), khi đó \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(SB\) và \((AMD)\)
(Vì):

Xét  có \(SO\), \(AM\) là trung tuyến nên gọi \(G\) là giao điểm của \(SO\) và \(AM\) thì \(G\) là trọng tâm của .
Xét  có \(SO\) là đường trung tuyến và \(SG = 2GO\) nên \(G\) cũng là trọng tâm của .
Trong \((SBD)\), gọi \(J\) là giao điểm của \(DG\) và \(SB\). Khi đó
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{J \in SB}\\{J \in DG \subset (ADM)}\end{array}} \right. \Rightarrow SB \cap (ADM) = J.\)
Mặt khác, \(G\) là trọng tâm của  nên \(J\) là trung điểm của \(SB \Rightarrow SJ = \frac{1}{2}SB\).
Mà \(SN = \frac{1}{3}SB\) nên \(N\) và \(J\) là hai điểm phân biệt.