Khuôn viên của một công viên có dạng hình chữ nhật \[ABCD\]với \[AB = 100\;m;\;AD = 80\;m.\] Người ta muốn chia công viên thành hai khu, một khu dành cho trẻ em, một khu dành cho người lớn. Để tạo thiết kế độc đáo và lạ mắt, người ta dùng một đường cong chia khuôn viên thành hai phần \[{H_1}\] (không tô màu) dành cho trẻ em và \[{H_2}\] (tô màu) dành cho người lớn như hình vẽ bên với \[AH = 40\;m;\;AE = 60\;m;AP = 20\;m\] và \[EF//AB;\,\;PQ//AD\].

Biết rằng khi xét trong một hệ tọa độ \[Oxy,\] đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số bậc ba. Phần chính giữa công viên người ta muốn mắc dây đèn trang trí dọc đoạn thẳng \[MN\] như hình. Biết giá tiền mỗi mét dây trang trí của phần dành cho trẻ em là 140 nghìn đồng và phần dành cho người lớn là 180 nghìn đồng. Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí trên đoạn \[MN\] là bao nhiêu triệu đồng.

Đúng; (b) Sai; (c) Đúng; (d) Đúng

Gọi số lần tăng giá tiền cho thuê mỗi căn hộ một tháng để công ty thu được thu nhập cao nhất là\[x\] (\(0 \le x \le 30\))

Số tiền cho thuê mỗi căn hộ là \[2 + 0,1x\]

Số căn hộ mỗi tháng được thuê là \[150 - 5x\]

Thu nhập của công ty đạt được là \[\left( {2 + 0,1x} \right)\left( {150 - 5x} \right)\]

Đặt\[f(x) = \left( {2 + 0,1x} \right)\left( {150 - 5x} \right)\]

\[\begin{array}{l}f'(x) = 0,1.\left( {150 - 5x} \right) - 5\left( {2 + 0,1x} \right) = 15 - 0,5x - 10 - 0,5x = 5 - x\\f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5\end{array}\]

\(f\left( 0 \right) = 300;f(5) = 312,5;f(30) = 0\)\( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;30} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 312,5\)khi\(x = 5\)

Vậy để có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê với giá \[2 + 0,1.5 = 2,5\].

Ký hiệu các kích thước của hình chữ nhật như hình vẽ.

Ta có \({\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {y^2} = {r^2}\) \( \Rightarrow {y^2} = {r^2} - \frac{{{x^2}}}{4} = 9 - \frac{{{x^2}}}{4}\). ĐK: \(0 < x < 6\).

Diện tích của tấm biển hình chữ nhật là \(S = xy\).

Ta có \({S^2} = {x^2}{y^2}\)\( = {x^2}\left( {9 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)\) \( =  - \frac{1}{4}{x^4} + 9{x^2}\)\( = f\left( x \right)\).

\(f'\left( x \right) =  - {x^3} + 18x\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2 \).

BBT:

Suy ra \({S^2} \le 81\). Hay \(\max S = 9\), đạt được khi \(x = 3\sqrt 2 \) và \(y = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\).

Khi đó, chiều dài của hình chữ nhật là \(x = 3\sqrt 2  \approx 4,24\).