Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 6

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 2.1 + 3.\left( { - 1} \right) + 0.4 = - 1\).

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có phương trình dạng \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] có tâm \[I\left( {a;\,b;\,c} \right)\].

Vậy \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 8z + 4 = 0\] có tâm \[I\left( {3;\, - 2;\,4} \right)\].

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số có 1 cực đại, 1 cực tiểu và không xác định tại \(x = 1\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\).

\(y' < 0\) với mọi \(x \in \left( { - 2\,;\,2} \right)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng\(\left( { - 2;2} \right).\)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right).\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{4 + m}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}},\,\forall x \ne  - 4\) và phương trình tiệm cận đứng \(x =  - 4\).

Vì \( - 4 \notin \left[ { - 3;3} \right]\) nên ta xét 2 trường hợp sau

+) Với \(m + 4 > 0\) \( \Leftrightarrow m >  - 4\) thì \(f'\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left[ { - 3\,;\,3} \right]\) nên

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = 2\)\( \Leftrightarrow f\left( { - 3} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 3 - m}}{1} = 2 \Rightarrow m =  - 5\) (loại).

+) Với \(m + 4 < 0\)\( \Leftrightarrow m <  - 4\) thì \(f'\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left[ { - 3\,;\,3} \right]\)nên

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = 2\) \( \Leftrightarrow f\left( 3 \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{3 - m}}{7} = 2 \Rightarrow m =  - 11\) ( nhận).

Vậy tổng các giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \( - 11\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - ax}}{{bx - c}} = \frac{{ - a}}{b}\), theo giả thiết suy ra \(\frac{{ - a}}{b} = 3 \Leftrightarrow a =  - 3b\)

Hàm số không xác định tại \(x = 1 \Rightarrow b - c = 0 \Leftrightarrow b = c\)

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên \(f'\left( x \right) = \frac{{ac - 2b}}{{{{\left( {bx - c} \right)}^2}}} > 0\)với mọi \(x\)khác 1

Suy ra \(ac - 2b > 0 \Leftrightarrow  - 3{b^2} - 2b > 0 \Leftrightarrow  - \frac{2}{3} < b < 0 \Leftrightarrow 0 <  - b < \frac{2}{3}\)

Lại có \(a + b + c =  - 3b + b + b =  - b\)

Vậy tổng \(a + b + c\)thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\).