Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 8

Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x\)\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 2\) \( \Rightarrow \) \(y = 2\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 5\) \( \Rightarrow \) \(y = 5\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang.

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) =  - 1\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = 2\).

\(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) =  - 5\) khi \(x =  - 2\) hoặc \(x = 1\).

Gọi \[Q\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MQ}  = \left( {x - 1;\,y - 1;\,z - 1} \right)\]. \[\overrightarrow {NP}  = \left( {5;\,4;\,1} \right)\].

Ta có: tứ giác \[MNPQ\]là hình bình hành\[\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {NP}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 5\\x - 1 = 4\\z - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\\z = 2\end{array} \right.\].

Vậy tọa độ điểm \[Q\] là: \[Q\left( {6;\,5;\,2} \right)\].

$M\left(xy\right)$ thuộc đồ thị hàm số \( \Leftrightarrow \)\(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 10}}{{x + 2}} = 2{\rm{x}} - 1 + \frac{{12}}{{x + 2}}\)

\(\begin{array}{l}y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{{12}}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 =  \pm 12\\x + 2 =  \pm 6\\x + 2 =  \pm 4\\x + 2 =  \pm 3\\x + 2 =  \pm 2\\x + 2 =  \pm 1\end{array} \right.\\\end{array}\)

Vậy có \(12\)điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 10}}{{x + 2}}\).