Cho hàm số \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 3\,\left( {a \ne 0} \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Xác định dấu của hệ số \(a,b,c\).              

Một em bé cân nặng \(m = 20{\rm{\;kg}}\) trượt trên cầu thang trượt dài 2 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \({40^ \circ }\). Cho biết công \(A\left( J \right)\) sinh bởi một lực \(\vec F\) có độ dịch chuyển \(\vec d\) được tính theo công thức \(\vec A = \vec F \cdot \vec d\). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\vec P\) khi em bé trượt hết chiều dài cầu trượt biết \(g \approx 10{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\). (làm tròn đến hàng đơn vị).

Giả sử tăng cân nặng ( tính bằng \(kg\)) của một giống vật nuôi ( trong vòng một số tháng nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{150}}{{1 + 3{e^{ - t}}}},\;\;t \ge 0\)

Trong đó thời gian \(t\) được tính bằng tháng kể từ khi vật nuôi đó bắt đầu sinh ra. Khi đó đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ tăng cân nặng của loài cây đó. Hỏi sau khi vật nuôi sinh ra thì sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng cân nặng của vật nuôi là nhanh nhất?

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá \(30.000\) đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình \(3000\) chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá \(30.000\) đồng mà cứ tăng giá thêm \(1000\) đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn \(100\) chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là \(18.000\). Hỏi:

              a) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần tăng thêm \[10000\] đồng?

              b) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá \[39000\] đồng?

              c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi chiếc khăn lãi \[21000\] đồng?

              d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm \[800\] chiếc?

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

              a) \[\mathop {Max}\limits_{(1; + \infty )} f(x) = f(2)\].

              b) Hàm số \(y = f(3 - 2x)\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

              c) Hàm số\(y = f(x)\) có hai điểm cực trị.

              d) \(f'(x) < 0\,\,\forall \,x \in ( - 1;1)\).

Cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {2;1;0} \right),B\left( {1;1;3} \right),C\left( {2; - 1;3} \right),D\left( {1; - 1;0} \right)\).

              a) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(3\)

              b) Tứ diện \(ABCD\) có các cạnh đối đôi một bằng nhau.

              c) Góc giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(\varphi = \arccos 0,3\)

              d) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)