Một công ty bất động sản có \(20\) phòng cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi phòng với giá \(2\) triệu đồng một tháng thì tất cả các phòng đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi phòng thêm \(200\) nghìn đồng một tháng thì có thêm một phòng bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi phòng bao nhiêu triệu đồng một tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất?

(a) Đúng: Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng ta tính được

\(AB = CD = \sqrt {10} ;AC = BD = \sqrt {13} ;AD = BC = \sqrt 5 \)

Vậy tứ diện \(ABCD\) có các cạnh đối đôi một bằng nhau

(b) Sai: Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;0;3} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( { - 1;0; - 3} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AB\) và \(CD\)

\(\cos \varphi  = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\left| { - 8} \right|}}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \frac{4}{5}\)

Vậy góc giữa \(AB\) và \(CD\) là \(\varphi  = \arccos 0,8\)

(c) Sai: Lấy \[I\] trung điểm của \(AB,J\) là trung điểm của \(CD\)

\(\Delta ACD = \Delta BCD\)(c.c.c) nên 2 đường trung tuyến tương ứng \(AJ = BJ\).

Vậy \(\Delta AJB\) cân đỉnh \(J\) nên \[IJ\] vuông góc với \(AB\) tại \(I\).

Tương tự \(\Delta ICD\) cân đỉnh \[I\] nên \[IJ\] vuông góc với \(CD\) tại \(J\).

Vậy \[IJ\] là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\) ta được \(I\left( {\frac{3}{2};1;\frac{3}{2}} \right)\) và \(J\left( {\frac{3}{2}; - 1;\frac{3}{2}} \right)\)

Vậy khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) chính là độ dài đoạn vuông góc chung \(IJ\).

\(d\left( {AB;CD} \right) = II = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left[ {1 - \left( { - 1} \right)} \right]}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} \right)}^2}}  = 2\)

(d) Đúng: Theo kết quả câu 3. Lấy \[G\] là trung điểm của \(IJ\) ta được:

\(GA = GB\)vì \(\Delta GAB\) cân đỉnh \(G\);\(GC = GD\) vì \(\Delta GCD\) cân đỉnh \(G\)

Mà \(GA = \sqrt {G{I^2} + I{A^2}} \) mà \(GI = GJ,IA = ID\) và \(GC = \sqrt {G{J^2} + I{D^2}} \)

Do đó \(GA = GB = GC = GD = R\)

Do đó \[G\]: Tâm mặt cầu ngoại tuyến khối tứ diện \(ABCD:G\left( {\frac{3}{2};0;\frac{3}{2}} \right)\) và bán kính của mặt cầu là \(R = GA = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) (\[G\]: cũng chính là trọng tâm của khối tứ diện gần đều \(ABCD\))