Bộ 20 đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 15

Dựa vào bảng biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty \) nên đồ thị có tiệm cận đứng \(x = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 5\) nên đồ thị có tiệm cậng ngang \(y = 5\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 2\) nên đồ thị có tiệm cậng ngang \(y = 2\).

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là \(3\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;\, - 1;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1;\,0;\,1} \right)\), \(\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;2} \right)\).

Nhận thấy rằng \(\overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \) \[A,\,C,\,D\] thẳng hàng.

Ta có \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)}  = 3\).

Xét đáp án A có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\), \(\forall x \ne  - 2\) nên loại.

Xét đáp án B có \(y' = 3{x^2} + 3 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên thỏa mãn.

Xét đáp án C có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0\), \(\forall x \ne  - 3\) nên loại.

Xét đáp án D có \(y' = 3{x^2} - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty  - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) nên loại.

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b \)\( = 2.2 + 1.5 - 3.1\)\( = 6\).

Tập hợp các điểm cách đều hai trục tọa độ là hai đường thẳng \(y =  \pm x\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\)và đường thẳng \(y = x\)là:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = x\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 1 = 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 5 \\x = 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\)và đường thẳng \(y =  - x\)là:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x + 1}}{{x - 1}} =  - x\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1 = 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1\).

Vậy có \(3\)điểm trên đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\)mà khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai trục tọa độ bằng nhau.

Gọi \(C\left( {a;b;c} \right)\). Ta có \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {AC} \\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right.\)

\(\overrightarrow {AH}  = \left( { - 1;2;1} \right)\), \(\overrightarrow {BH}  = \left( { - 2;0;2} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {a - 1;b - 1;c - 1} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {a - 2;b - 3;c} \right)\),

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2c + b - 3, - a - c + 2,b - 2a + 1} \right)\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - a + 2 + 2b - 6 + c = 0\\ - 2a + 2 + 2c - 2 = 0\\ - 2c - b + 3 - 2a - 2c + 4 + b - 2a + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 2b + c = 4\\ - 2a + 2c = 0\\ - 4a - 4c =  - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(C\left( {1;2;1} \right)\).