Sự tăng trưởng của một loại virut được xác định bởi hàm số \(p\left( t \right) = \frac{{800}}{{1 + 7{{\rm{e}}^{ - 0,2t}}}}\), trong đó \(t\) là thời gian được tính theo ngày. Ở ngày thứ bao nhiêu thì tốc độ tăng trưởng của loài virut trên là lớn nhất?

Dựa vào đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 19\\f'\left( 3 \right) = 0\\f\left( 3 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 28\\6a + b =  - 27\\9a + 3b + c =  - 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b =  - 9\\c = 30\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 30 \Rightarrow f\left( 6 \right) = 84\).

Đăt \(OA = x \Rightarrow AB = 2x\) (\(0 < x < 5\)).

\( \Rightarrow AD = \sqrt {O{D^2} - O{A^2}}  = \sqrt {25 - {x^2}} \).

Diện tích hình chữ nhật \(ABC{\rm{D}}\) là \(S = AB.AD = 2x\sqrt {25 - {x^2}} \).

Xét hàm số: \(f\left( x \right) = 2x\sqrt {25 - {x^2}} \) trên \(\left( {0;5} \right)\), ta có

\(f'\left( x \right) = 2\sqrt {25 - {x^2}}  - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{50 - 4{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 50 - 4{x^2} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \in (0;5)}\\{x = \frac{{ - 5\sqrt 2 }}{2} \notin (0;5)}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên

Vậy diện tích lớn nhất của tấm nhôm hình chữa nhật là \(S = 25\) khi \(x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).