Một khu vực trồng hoa được xây dựng trong khu du lịch sinh thái. Trong mô hình minh họa (như hình vẽ bên), nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị \(\left( C \right)\) của một hàm số bậc ba. Biết rằng đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {0;8} \right),B\left( {2;5,4} \right),K\left( {5;6,75} \right)\) và \(H\left( {8;0} \right)\). Trong khu du lịch sinh thái có một con đường chạy dọc theo đường thẳng \(d:y = - \frac{{13}}{9}x + \frac{{169}}{9}\). Tìm hoành độ của điểm \(M\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(d\) là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi \(x{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\,\,\)nghìn là số tiền giá vé giảm.

Khi đó giá vé sau khi giảm là \(100 - x\,\) (nghìn đồng).

Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 300x khán giả.

Do đó tổng số khán giả đến xem là 27000 + 300x.

Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên \(27000 + 300x \le 55000 \Leftrightarrow x \le \frac{{280}}{3}\,\)

Doanh thu từ tiền bán vé là:\(y = \left( {27000 + 300x} \right)\left( {100 - x} \right) =  - 300{x^2} + 3000x + 2700000\,\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 300{x^2} + 3000x + 2700000{\rm{  }}\,\)

Tập xác định \[{\rm{D}} = \left( {0;\frac{{280}}{3}} \right]\,\]

\(y' =  - 600x + 3000.{\rm{  }}y' = 0 \Leftrightarrow x = 5\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng thì doanh thu tiền bán vé là lớn nhất.

Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là khoảng cách các vật \(A\) và \(B\) đến \(O\) lúc đầu (\(t = 0\)), đồng thời \[d = AB\]. Gọi \(t'\)là thời điểm mà \({d_{\min }}\). Khi đó \(A\) ở \(A'\) và \(B\) ở \(B'\) như hình vẽ.

Kí hiệu góc .

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(\Delta A'B'O\) ta có:

\(\frac{d}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,30}} = \frac{{OA'}}{{\sin \gamma }} = \frac{{OB'}}{{\sin \beta }} \Leftrightarrow 2d = \frac{{{d_1} - AA'}}{{\sin \gamma }} = \frac{{{d_2} - BB'}}{{\sin \beta }} \Leftrightarrow 2d = \frac{{{d_1} - {v_1}t}}{{\sin \gamma }} = \frac{{{d_2} - {v_2}t}}{{\sin \beta }}\left( * \right)\)

Do \({v_2} = \frac{{{v_1}}}{{\sqrt 3 }}\) và áp dụng \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D} = \frac{{C - A}}{{D - B}}\), ta có:

\(\left( * \right) \Leftrightarrow 2d = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{\sqrt 3 \sin \beta  - \sin \gamma }}\)mà \(\sin \beta  = \sin \left( {{{180}^0} - \beta } \right) = \sin \left( {{{30}^0} + \gamma } \right)\)

Do đó ta có \(d = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{2\left[ {\sqrt 3 \sin \left( {{{30}^0} + \gamma } \right) - \sin \gamma } \right]}} = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{\sqrt 3 \cos \gamma  + \sin \gamma }}\)

Xét \(f\left( \gamma  \right) = \sqrt 3 \cos \gamma  + \sin \gamma \). Ta có \({d_{\min }} \Leftrightarrow f{\left( \gamma  \right)_{\max }}\)

\(f'\left( \gamma  \right) =  - \sqrt 3 \sin \gamma  + c{\rm{os}}\gamma ;f'\left( \gamma  \right) = 0 \Leftrightarrow  - \sqrt 3 \sin \gamma  + c{\rm{os}}\gamma  = 0 \Leftrightarrow \tan \gamma  = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \gamma  = {30^0}.\)

\(f''\left( \gamma  \right) =  - \sqrt 3 {\rm{cos}}\gamma  - {\rm{sin}}\gamma ;f''\left( {{{30}^0}} \right) =  - \sqrt 3 {\rm{cos}}{30^0} - {\rm{sin}}{30^0} =  - 2 < 0\)

Vậy, khi \(\gamma  = {30^0}\) thì khoảng cách giữa hai chất điểm \(A\) và \(B\) là nhỏ nhất.