Bác Ba có một mảnh đất rộng \[6\] ha. Bác dự tính trồng cà chua và ngô cho mùa vụ sắp tới. Nếu trồng cà chua thì bác Ba cần \[20\] ngày để trồng một ha. Nếu trồng ngô thì bác Ba cần \[10\] ngày để trồng một ha. Biết rằng mỗi ha cà chua sau thu hoạch bán được \[50\] triệu đồng, mỗi ha ngô sau thu hoạch bán được \[30\] triệu đồng và bác Ba chỉ còn \[100\] ngày để canh tác cho kịp mùa vụ. Giả sử bác Ba trồng \[x\] ha cà chua và \[y\] ha ngô. Số tiền nhiều nhất mà bác Ba có thể thu được sau mùa vụ này là bao nhiêu triệu đồng?

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) \(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\).

b) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)\( = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos 60^\circ \)\( = 49\). Suy ra \(BC = 7\).

c) Có khoảng cách từ B đến AC bằng \(\frac{{2S}}{{AC}} = \frac{{2.\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A}}{{AC}} = AB.\sin A = 8.\sin 60^\circ  = 4\sqrt 3 \).

d) Xét tam giác ABC có \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{{8^2} + {7^2} - {5^2}}}{{2.8.7}} = \frac{{11}}{{14}}\).

Xét tam giác ABM có \(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.\cos B\)\( = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\frac{{11}}{{14}} = \frac{{183}}{7}\).

Suy ra \(AM \approx 5,11\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Gọi \(x,y,\left( {x,y \ge 0} \right)\) (hecta) lần lượt là diện tích đất dùng để trồng mít và xoài.

Do bác An dự định trồng hai loại cây ăn trái là mít và xoài trong nông trại rộng 100 hecta nên \(x + y \le 100\).

b) Vì mỗi hecta trồng mít cần 20 công chăm sóc và mỗi hecta trồng xoài cần 40 công chăm sóc mà công cần dùng không được vượt quá 2 800 công nên ta có \(20x + 40y \le 2800\) hay \(x + 2y \le 140\).

c) Tổng lợi nhuận thu được là \(E = 150x + 180y\)(triệu đồng).

d) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(E = 150x + 180y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\\x + 2y \le 140\end{array} \right.\).

Ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (phần tô màu).

Ta có \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;70} \right),B\left( {60;40} \right),C\left( {100;0} \right)\).

Ta có \(E\left( {0;0} \right) = 150.0 + 180.0 = 0\); \(E\left( {0;70} \right) = 150.0 + 180.70 = 12600\);

\(E\left( {60;40} \right) = 150.60 + 180.40 = 16200\); \(E\left( {100;0} \right) = 150.100 + 180.0 = 15000\).

Vậy lợi nhuận thu được lớn nhất là 16,2 tỷ đồng.