Số hạng thứ 20 của cấp số cộng $\left(u{}_n\right)$ bằng 135 và số hạng thứ 35 bằng 240. Tìm số hạng thứ 90 của cấp số cộng đó.

a) $si{n}^{2}x-3sinx+2=0$

Đặt $sinx=t,t\in \left[-1;1\right]$. Phương trình đã cho trở thành

$t^2-3t+2=0\iff [\begin{array}{l}t=1\\ t=2\left(Loai\right)\end{array}\iff t=1$

$\Rightarrow sinx=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) {\left(sin2x+cos2x\right)}^2+\sqrt{3}cos4x=2

$\iff si{n}^{2}2x+co{s}^{2}2x+2sin2xcos2x+\sqrt{3}cos4x=2$

$\iff sin4x+\sqrt{3}cos4x=1$

$\iff \frac{1}{2}sin4x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos4x=\frac{1}{2}$

$\iff sin4xcos\frac{\pi }{3}+cos4xsin\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

$\iff sin\left(4x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

$\iff sin\left(4x+\frac{\pi }{3}\right)=sin\frac{\pi }{6}$

$\iff [\begin{array}{l}4x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 4x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Đặt t=x^2\left(t\ge 0\right)

Phương trình đã cho trở thành t^2+2\left(2a+1\right)x^2-3a=0\left(\ast \right)

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình \left(\ast \right) có hai nghiệm dương phân biệt.

\iff \{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }>0\\ -2\left(2a+1\right)>0\\ -3a>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{\left(2a+1\right)}^2+3a>0\\ 2a+1<0\\ a<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4a^2+7a+1>0\\ a<-\frac{1}{2}\\ a<0\end{array}

\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a<\frac{-7-\sqrt{33}}{8}\\ a>\frac{-7+\sqrt{33}}{8}\end{array}\\ \\ a<-\frac{1}{2}\\ a<0\end{array}\iff \frac{-7-\sqrt{33}}{8}<a<-\frac{1}{2}

Phương trình trùng phương đã cho có hai cặp nghiệm đối nhau lập thành một cấp số cộng.

Giả sử một nghiệm là m\Rightarrow ba nghiệm còn lại lần lượt là -m;-3m;3m.

Suy ra phương trình \left(\ast \right) có hai nghiệm phân biệt m^2 và 9m^2.

Theo Vi-et ta có: \{\begin{array}{l}{m}^2+9m^2=-2\left(2a+1\right)\\ m^2.9m^2=-3a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2=-\frac{2a+1}{5}\\ m^4=-\frac{a}{3}\end{array}.

\Rightarrow {\left(-\frac{2a+1}{5}\right)}^2=-\frac{a}{3}\iff 12a^2+37a+3=0\iff [\begin{array}{l}a=-\frac{1}{12}\\ a=-3\end{array}.

So với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.