(1 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của a để phương trình x^4+2\left(2a+1\right)x^2-3a=0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

Đặt t=x^2\left(t\ge 0\right)

Phương trình đã cho trở thành t^2+2\left(2a+1\right)x^2-3a=0\left(\ast \right)

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình \left(\ast \right) có hai nghiệm dương phân biệt.

\iff \{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }>0\\ -2\left(2a+1\right)>0\\ -3a>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{\left(2a+1\right)}^2+3a>0\\ 2a+1<0\\ a<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4a^2+7a+1>0\\ a<-\frac{1}{2}\\ a<0\end{array}

\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a<\frac{-7-\sqrt{33}}{8}\\ a>\frac{-7+\sqrt{33}}{8}\end{array}\\ \\ a<-\frac{1}{2}\\ a<0\end{array}\iff \frac{-7-\sqrt{33}}{8}<a<-\frac{1}{2}

Phương trình trùng phương đã cho có hai cặp nghiệm đối nhau lập thành một cấp số cộng.

Giả sử một nghiệm là m\Rightarrow ba nghiệm còn lại lần lượt là -m;-3m;3m.

Suy ra phương trình \left(\ast \right) có hai nghiệm phân biệt m^2 và 9m^2.

Theo Vi-et ta có: \{\begin{array}{l}{m}^2+9m^2=-2\left(2a+1\right)\\ m^2.9m^2=-3a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2=-\frac{2a+1}{5}\\ m^4=-\frac{a}{3}\end{array}.

\Rightarrow {\left(-\frac{2a+1}{5}\right)}^2=-\frac{a}{3}\iff 12a^2+37a+3=0\iff [\begin{array}{l}a=-\frac{1}{12}\\ a=-3\end{array}.

So với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.