Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x} \right) = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\) trong khoảng \(\left[ {0;6} \right]\) là

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

\(\sin \left( {2x} \right) = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {2x} \right) = {\rm{sin}}\left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{5\pi }}{6} - x + k2\pi \\2x = \pi - \left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left[ {0;6} \right]\) nên ta có:

+) \[0 \le \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \le 6 \Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{{18}} \le k\frac{{2\pi }}{3} \le 6 - \frac{{5\pi }}{{18}} \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{9}{\pi } - \frac{5}{{12}}\]

\( \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\))\( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{{18}};\frac{{17\pi }}{{18}};\frac{{29\pi }}{{18}}} \right\}\).

+) \[0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 6 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6} \le k2\pi \le 6 - \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{3}{\pi } - \frac{1}{{12}}\]

\( \Rightarrow k = 0\) (vì \(k \in \mathbb{Z}\))\( \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\).

Vậy tổng các nghiệm thoả mãn yêu cầu đề bài là: \(S = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{17\pi }}{{18}} + \frac{{29\pi }}{{18}} + \frac{\pi }{6} = 3\pi \).