III. Hướng dẫn giải tự luận

 Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0\); 

b) \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\);

c) \(\cos 3x + \cos 2x + \cos x + 1 = 0\).

Hướng dẫn giải:

a) Vì \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm \(BD\).

Xét tam giác \(SBD\) có \(O\) là trung điểm \(BD\), \(M\) là trung điểm \(SD\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SBD \Rightarrow OM{\rm{//}}SB\).

b) Kéo dài \(BG\) cắt \(CD\), \(AD\) lần lượt tại \(I\), \(J\). Kéo dài \(JM\) cắt \(SA\) tại \(K\).

Khi đó \(K \in \left( {MBG} \right)\), do đó \(K\) là giao điểm của \(SA\) và \(\left( {MBG} \right)\).

c) Vì \(I\) là giao điểm của \(BG\) và \(CD\) nên \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Ta chứng minh được \(I\) là trung điểm của \(JB\).

Tam giác \(ABJ\) có \(DI{\rm{//}}AB\), \(I\) là trung điểm \(JB\) nên \(DI\) là đường trung bình tam giác \(ABJ\).

\( \Rightarrow D\) là trung điểm \[JA\].

Từ \(D\) kẻ \(DN{\rm{//}}AK\left( {N \in JK} \right)\). Khi đó \(DN\) là đường trung bình của tam giác \(AKJ\)

\( \Rightarrow \frac{{DN}}{{AK}} = \frac{1}{2}\) hay \(AK = 2DN\).

Mặt khác, xét \(\Delta MND\) và \(\Delta MSK\) có:

\(\widehat {SKM} = \widehat {DNM}\) (2 góc so le của \(SK{\rm{//}}ND\))

\(SM = MD\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}SD} \right)\) (\(S\) là trung điểm \(AD\))

\(\widehat {SMK} = \widehat {DMN}\) (đối đỉnh)

Do đó, \(\Delta MND = \Delta MSK\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow SK = ND\).

\( \Rightarrow \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AK}}{{AK + KS}} = \frac{{2DN}}{{2DN + DN}} = \frac{2}{3}\)\(\left( 1 \right)\)

Lại có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \(\frac{{OG}}{{OC}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AO + OG}}{{2OC}} = \frac{{OC + \frac{1}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{{\frac{4}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{2}{3}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow KG{\rm{//}}SC\) (định lí Talet trong tam giác \(SAC\)). (đpcm)

Xét tam giác \(SCD\) có \(M,I\) lần lượt là các trung điểm \(SD,DC\) nên \(MI\) là đường trung bình tam giác \(SCD \Rightarrow MI{\rm{//}}SC\), mà \(KG{\rm{//}}SC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow MI{\rm{//}}KG \Rightarrow \frac{{JM}}{{MK}} = \frac{{JI}}{{IG}}\).

Ta có: \(DI\) là đường trung bình \(\Delta ABJ\) nên \(I\) là trung điểm \(BJ \Rightarrow BI = IJ = \frac{1}{2}BJ\).

\(G\) là trọng tâm \(\Delta BCD\) nên \(\frac{{GI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{JI}}{{IG}} = \frac{{BI}}{{\frac{1}{3}BI}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{KM}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{JK}} = \frac{{JM}}{{JM + MK}} = \frac{3}{4}\).

Vậy \(\frac{{JM}}{{JK}} = \frac{3}{4}\).

Hướng dẫn giải:

Giả sử đa giác đã cho có \(n\) cạnh \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 3} \right)\) và số đo các cạnh lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 44\). Khi đó chu vi của đa giác là tổng cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), tức là:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {{u_1} + 44} \right)}}{2} = 158\)

\( \Leftrightarrow n\left( {{u_1} + 44} \right) = 316\)

Vì \(n\) và \({u_1} + 44\) là một số nguyên dương nên \({u_1} + 44 \in \)Ư\(\left( {316} \right) = \left\{ {1;2;4;79;158;316} \right\}\).

Mặt khác \(n \ge 3\) nên \(44 < {u_1} + 44 \le \frac{{316}}{3} \Leftrightarrow 44 < {u_1} + 44 \le 105\).

\( \Rightarrow {u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35\).

Vậy đa giác đó có cạnh nhỏ nhất là 35 cm.