Chu vi một đa giác là 158 cm. Biết rằng số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm. Tính cạnh nhỏ nhất của đa giác đó.

Hướng dẫn giải:

a) Vì \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm \(BD\).

Xét tam giác \(SBD\) có \(O\) là trung điểm \(BD\), \(M\) là trung điểm \(SD\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SBD \Rightarrow OM{\rm{//}}SB\).

b) Kéo dài \(BG\) cắt \(CD\), \(AD\) lần lượt tại \(I\), \(J\). Kéo dài \(JM\) cắt \(SA\) tại \(K\).

Khi đó \(K \in \left( {MBG} \right)\), do đó \(K\) là giao điểm của \(SA\) và \(\left( {MBG} \right)\).

c) Vì \(I\) là giao điểm của \(BG\) và \(CD\) nên \(I\) là trung điểm của \(CD\).

Ta chứng minh được \(I\) là trung điểm của \(JB\).

Tam giác \(ABJ\) có \(DI{\rm{//}}AB\), \(I\) là trung điểm \(JB\) nên \(DI\) là đường trung bình tam giác \(ABJ\).

\( \Rightarrow D\) là trung điểm \[JA\].

Từ \(D\) kẻ \(DN{\rm{//}}AK\left( {N \in JK} \right)\). Khi đó \(DN\) là đường trung bình của tam giác \(AKJ\)

\( \Rightarrow \frac{{DN}}{{AK}} = \frac{1}{2}\) hay \(AK = 2DN\).

Mặt khác, xét \(\Delta MND\) và \(\Delta MSK\) có:

\(\widehat {SKM} = \widehat {DNM}\) (2 góc so le của \(SK{\rm{//}}ND\))

\(SM = MD\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}SD} \right)\) (\(S\) là trung điểm \(AD\))

\(\widehat {SMK} = \widehat {DMN}\) (đối đỉnh)

Do đó, \(\Delta MND = \Delta MSK\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow SK = ND\).

\( \Rightarrow \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AK}}{{AK + KS}} = \frac{{2DN}}{{2DN + DN}} = \frac{2}{3}\)\(\left( 1 \right)\)

Lại có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \(\frac{{OG}}{{OC}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AO + OG}}{{2OC}} = \frac{{OC + \frac{1}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{{\frac{4}{3}OC}}{{2OC}} = \frac{2}{3}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{AG}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow KG{\rm{//}}SC\) (định lí Talet trong tam giác \(SAC\)). (đpcm)

Xét tam giác \(SCD\) có \(M,I\) lần lượt là các trung điểm \(SD,DC\) nên \(MI\) là đường trung bình tam giác \(SCD \Rightarrow MI{\rm{//}}SC\), mà \(KG{\rm{//}}SC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow MI{\rm{//}}KG \Rightarrow \frac{{JM}}{{MK}} = \frac{{JI}}{{IG}}\).

Ta có: \(DI\) là đường trung bình \(\Delta ABJ\) nên \(I\) là trung điểm \(BJ \Rightarrow BI = IJ = \frac{1}{2}BJ\).

\(G\) là trọng tâm \(\Delta BCD\) nên \(\frac{{GI}}{{BI}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{JI}}{{IG}} = \frac{{BI}}{{\frac{1}{3}BI}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{KM}} = 3 \Rightarrow \frac{{JM}}{{JK}} = \frac{{JM}}{{JM + MK}} = \frac{3}{4}\).

Vậy \(\frac{{JM}}{{JK}} = \frac{3}{4}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì \(I \in AB\) mà \(AB\) nằm trên \(\left( {ABD} \right)\) nên \(I\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {IJK} \right)\).

Tương tự, điểm \(K\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {IJK} \right)\).

\( \Rightarrow \) giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {IJK} \right)\) là đường thẳng \(KI\).