Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo của rađian của cung đó là

a) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BI\), khi đó \(SE\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Mà \(IJ\) và \(SE\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {SIB} \right)\), nên giao điểm của \(IJ\) và \(SE\) chính là giao điểm giữa \(IJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Vậy \(K\) là giao điểm giữa \(IJ\) và \(SE\).

b) Gọi giao điểm giữa \(AC\) và \(BD\) là \(F\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) lấy \(DJ\) giao với \(SF\) tại \(L\).

Vì \(SF\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(L\) là giao điểm giữa \(DJ\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

c) \(K \in IJ \Rightarrow K \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(K \in \left( {SAC} \right)\) nên \(K\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right) \Rightarrow \)\(K\) thuộc giao tuyến giữa 2 mặt phẳng này (1).

Tương tự, \(L \in JD \Rightarrow L \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(L \in \left( {SAC} \right)\) nên \(L\) thuộc giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (2).

Mặt khác, \(M \in OJ \Rightarrow M \in \left( {OAJ} \right)\), mà \(M \in SC \Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow M\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), kết hợp \(A\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right) \Rightarrow AM\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {OAJ} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(A,K,L,M\) thẳng hàng. (đpcm)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \({v_n} = {u_n} + 3 \Rightarrow {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3\)

Xét \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}} + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4{u_n} + 9 + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{{u_n} + 3}} = 4 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 4\) và \({v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\).

\( \Rightarrow {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {5.4^{n - 1}}\).

Vậy cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({v_n} = {5.4^{n - 1}}\).

b) Gọi \[{T_n}\] là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) và \({S_n}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khi đó \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) và \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Ta có: \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_1} + 3} \right) + \left( {{u_2} + 3} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3} \right)\)

\( = \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) + 3n = {S_n} + 3n\)

\( \Rightarrow {S_n} = {T_n} - 3n\)

\( \Rightarrow {S_{10}} = {T_{10}} - 3.10 = \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} - 3.10 = \frac{{5\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} - 30 = 1747595\).

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của \(\left( {{u_n}} \right)\) là 1 747 595.