Với góc \(a\) bất kì, đẳng thức nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải:

a) \({\sin ^2}3x - \sin 3x - 2 = 0\) (1)

Đặt \(\sin 3x = t\), vì \( - 1 \le \sin 3x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\).

Khi đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin 3x = - 1 \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) \[\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]

Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) \(\tan x + \cot x = 2\)(2)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = 2 \Rightarrow {\tan ^2}x + 1 = 2\tan x\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\tan x - 1} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (t/m điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\). Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), hay \(O\) là trung điểm \(BD\) (1).

Tương tự, \(O\) là trung điểm \(MN\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(O\) nằm trên mặt phẳng chứa 2 đường thẳng \(MD\) và \(BN\), suy ra \(B,M,D,N\) tạo thành một tứ giác.