Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), hai điểm \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SD\), điểm \(P \in SC\) và không là trung điểm của \(SC\).

a) Tìm giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

b) Tìm giao điểm \(Q\) của \(SA\) với mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

c) Gọi \(F,G,H\) lần lượt là giao điểm của \(QM\) và \(AB\), \(QP\) và \(AC\), \(QN\) và \(AD\).

Chứng minh ba điểm \(F,G,H\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a) \({\sin ^2}3x - \sin 3x - 2 = 0\) (1)

Đặt \(\sin 3x = t\), vì \( - 1 \le \sin 3x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\).

Khi đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin 3x = - 1 \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) \[\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]

Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) \(\tan x + \cot x = 2\)(2)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = 2 \Rightarrow {\tan ^2}x + 1 = 2\tan x\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\tan x - 1} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (t/m điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

\(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\).