Trên cánh cửa được trang trí các núm có dạng một khối tròn xoay được đúc bằng chất liệu đồng, khuôn đúc của nó được tạo thành khi quay miền \(\left( H \right)\) (phần được tô màu trong hình vẽ) quanh trục \(AB\). Miền \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các cạnh \(AB\), \(AD\) của hình vuông \(ABCD\) và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng \(1\) cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD\), \(AB\). Biết công thức tính khối lượng của một vật là \(P = V \cdot D\), trong đó \(P\) là khối lượng của vật (đơn vị gam), \(V\) là thể tích của vật (đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)) và \(D\) là khối lượng riêng của vật (đơn vị \({\rm{gam/c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)), khối lượng riêng của đồng là \(D = 8,96\,{\rm{gam/c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Giá đồng trên thị trường là 200 000 đồng/kg. Giá tiền vật liệu để đúc một núm đồng trên là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, với \(O\) là trung điểm của \(BD\) và hai trục lần lượt song song với hai cạnh \(AB,AD\).

Ta có tọa độ các điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right)\), \(B\left( {2; - 2} \right)\) và \(I\left( {0;2} \right)\); phương trình của đường parabol có dạng \(y = a{x^2} + b\) thay tọa độ các điểm \(B,I\) ta có được \(b = 2\) và \( - 2 = a \cdot {2^2} + 2 \Leftrightarrow a = - 1\).

Vậy phương trình của đường \[\left( P \right):y = - {x^2} + 2\].

Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}y = -x^2+2\\ y = -x \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-x-2 = 0\\ y = -x \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x = 2\\ y = -2 \end{array}hoặc \left\{\begin{array}{l}x= -1 \\ y = 1\end{array}\right.\right.$

Suy ra \(M\left( { - 1\,;\,1} \right)\) (loại điểm \[\left( {2; - 2} \right)\] do trùng B).

Diện tích hình phẳng \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 2} \right) - \left( { - x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + x} \right){\rm{d}}x} = \frac{9}{2}\).

Diện tích hình phẳng \[{S_2} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + 2} \right){\rm{d}}x - {S_1}} = \frac{{37}}{6}\].

Diện tích phần còn lại là \({S_3} = 16 - {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3}\).

Tổng số tiền bỏ ra để sơn là \(200{S_1} + 180{S_2} + 150{S_3} = 2810\) (nghìn đồng).

Đáp án: 2810.

a) Đúng. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 2x - 2 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Với \[x = - 2 \Rightarrow y = - 6\], với \[x = 1 \Rightarrow y = 0\], với \[x = 3 \Rightarrow y = 4\].

Vậy đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm \(A\left( { - 2; - 6} \right),\,B\left( {1;0} \right),\,C\left( {3;4} \right)\).

b) Sai. Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{97}}{{12}}\).

c) Sai. Ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{63}}{4}\);

\({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{16}}{3}\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{63}}{4}}}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{{189}}{{64}}\).

d) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = {S_1} + {S_2} = \frac{{63}}{4} + \frac{{16}}{3} = \frac{{253}}{{12}}\).