Cho đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4\,\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = 2x - 2\).

a) Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm \(A\left( { - 2; - 6} \right),\,B\left( {1;0} \right),\,C\left( {3;4} \right)\).

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = - 1,\,x = 2\) bằng \(\frac{{21}}{4}\).

c) Biết đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) thành hai miền \({S_1}\) và \({S_2}\). Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{63}}{{16}}\).

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) bằng \(\frac{{253}}{{12}}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, với \(O\) là trung điểm của \(BD\) và hai trục lần lượt song song với hai cạnh \(AB,AD\).

Ta có tọa độ các điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right)\), \(B\left( {2; - 2} \right)\) và \(I\left( {0;2} \right)\); phương trình của đường parabol có dạng \(y = a{x^2} + b\) thay tọa độ các điểm \(B,I\) ta có được \(b = 2\) và \( - 2 = a \cdot {2^2} + 2 \Leftrightarrow a = - 1\).

Vậy phương trình của đường \[\left( P \right):y = - {x^2} + 2\].

Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}y = -x^2+2\\ y = -x \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-x-2 = 0\\ y = -x \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x = 2\\ y = -2 \end{array}hoặc \left\{\begin{array}{l}x= -1 \\ y = 1\end{array}\right.\right.$

Suy ra \(M\left( { - 1\,;\,1} \right)\) (loại điểm \[\left( {2; - 2} \right)\] do trùng B).

Diện tích hình phẳng \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 2} \right) - \left( { - x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + x} \right){\rm{d}}x} = \frac{9}{2}\).

Diện tích hình phẳng \[{S_2} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + 2} \right){\rm{d}}x - {S_1}} = \frac{{37}}{6}\].

Diện tích phần còn lại là \({S_3} = 16 - {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3}\).

Tổng số tiền bỏ ra để sơn là \(200{S_1} + 180{S_2} + 150{S_3} = 2810\) (nghìn đồng).

Đáp án: 2810.

a) Sai. Đến đúng trạm thu phí thì xe dừng hẳn nên \({v_1}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 6t + 21\, = 0 \Leftrightarrow t = \frac{7}{2} = 3,5\).

Như vậy, thời gian từ lúc ô tô phanh lần một cho đến khi dừng hẳn ở trạm thu phí là \(3,5\) giây.

b) Đúng. Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng ở trạm thu phí là:

\({S_1} = \int\limits_0^{\frac{7}{2}} {\left( { - 6t + 21} \right)} \,{\rm{d}}t = 36,75\,\left( {\rm{m}} \right)\).

c) Đúng. Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp lần hai là

\({v_2}\left( 4 \right) = 5 \cdot 4 = 20\,\left( {{\rm{m/s}}} \right).\)

d) Đúng. Quãng đường ô tô đi được sau khi trả phí đến khi phanh lần hai là:

\({S_2} = \int\limits_0^4 {5t} \,{\rm{d}}t = 40\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc phanh lần một đến lúc phanh lần hai là:

\(S = {S_1} + {S_2} = 76,75\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).