Cho đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4\,\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = 2x - 2\).

a) Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm \(A\left( { - 2; - 6} \right),\,B\left( {1;0} \right),\,C\left( {3;4} \right)\).

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = - 1,\,x = 2\) bằng \(\frac{{21}}{4}\).

c) Biết đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) thành hai miền \({S_1}\) và \({S_2}\). Tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{63}}{{16}}\).

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) bằng \(\frac{{253}}{{12}}\).

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông \[ABCD\] cạnh bằng \[4{\rm{ m}}\] và \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(CD\). Trên tấm biển đó có đường parabol đỉnh \(I\) đi qua \(A,B\) và cắt đường chéo \(BD\) tại \(M\) (\(M\) khác \(B\), tham khảo hình vẽ).

Người ta cần sơn tấm biển quảng cáo, biết rằng chi phí sơn phần hình gạch sọc (có diện tích \({S_1}\)​) là \[200\,000\] đồng/m², chi phí sơn phần tô đậm (có diện tích \({S_2}\)​) là \[180\,000\] đồng/m² và phần còn lại là \[150\,000\] đồng/m². Số tiền cần chi trả để sơn tấm biển quảng cáo là bao nhiêu nghìn đồng?

Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sin x - \cos x\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) là

Trên cánh cửa được trang trí các núm có dạng một khối tròn xoay được đúc bằng chất liệu đồng, khuôn đúc của nó được tạo thành khi quay miền \(\left( H \right)\) (phần được tô màu trong hình vẽ) quanh trục \(AB\). Miền \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các cạnh \(AB\), \(AD\) của hình vuông \(ABCD\) và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng \(1\) cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD\), \(AB\). Biết công thức tính khối lượng của một vật là \(P = V \cdot D\), trong đó \(P\) là khối lượng của vật (đơn vị gam), \(V\) là thể tích của vật (đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)) và \(D\) là khối lượng riêng của vật (đơn vị \({\rm{gam/c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)), khối lượng riêng của đồng là \(D = 8,96\,{\rm{gam/c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Giá đồng trên thị trường là 200 000 đồng/kg. Giá tiền vật liệu để đúc một núm đồng trên là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một dụng cụ đựng nước có dạng như hình bên. Nếu cắt dụng cụ bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\) (cm) \((0 \le x \le 5)\) thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài là \(2x\) (cm) và chiều rộng là \(\sqrt {x + 3} \) (cm). Dung tích của dụng cụ trên là bao nhiêu centimét khối (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục)?

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng với vận tốc \[v\left( t \right),{\rm{ }}0 \le t \le 5\] (\[t\] có đơn vị là giây và \[v\left( t \right)\] có đơn vị mét/giây). Hàm số \[v\left( t \right)\] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng \[OB,BC\] và đường cong \[CD\] là một phần parabol \[v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c,{\rm{ }}\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\] có đỉnh \[C\] (như hình vẽ).

a) Trong một giây đầu tiên, vận tốc của chất điểm là \[v\left( t \right) = 2t,{\rm{ }}0 \le t \le 1\].       

b) Quãng đường chất điểm đi được trong hai giây đầu tiên là \[2{\rm{ m}}\].

c) Giá trị của \[b\] và \[c\] lần lượt là \[b = 3,c = - \frac{5}{2}\].

d) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian \[5\] giây là \[7,7{\rm{ m}}\] (kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).