Một biển quảng cáo có dạng hình vuông \[ABCD\] cạnh bằng \[4{\rm{ m}}\] và \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(CD\). Trên tấm biển đó có đường parabol đỉnh \(I\) đi qua \(A,B\) và cắt đường chéo \(BD\) tại \(M\) (\(M\) khác \(B\), tham khảo hình vẽ).

Người ta cần sơn tấm biển quảng cáo, biết rằng chi phí sơn phần hình gạch sọc (có diện tích \({S_1}\)​) là \[200\,000\] đồng/m², chi phí sơn phần tô đậm (có diện tích \({S_2}\)​) là \[180\,000\] đồng/m² và phần còn lại là \[150\,000\] đồng/m². Số tiền cần chi trả để sơn tấm biển quảng cáo là bao nhiêu nghìn đồng?

a) Đúng. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 2x - 2 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Với \[x = - 2 \Rightarrow y = - 6\], với \[x = 1 \Rightarrow y = 0\], với \[x = 3 \Rightarrow y = 4\].

Vậy đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm \(A\left( { - 2; - 6} \right),\,B\left( {1;0} \right),\,C\left( {3;4} \right)\).

b) Sai. Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{97}}{{12}}\).

c) Sai. Ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{63}}{4}\);

\({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{16}}{3}\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{63}}{4}}}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{{189}}{{64}}\).

d) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = {S_1} + {S_2} = \frac{{63}}{4} + \frac{{16}}{3} = \frac{{253}}{{12}}\).

a) Sai. Đến đúng trạm thu phí thì xe dừng hẳn nên \({v_1}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 6t + 21\, = 0 \Leftrightarrow t = \frac{7}{2} = 3,5\).

Như vậy, thời gian từ lúc ô tô phanh lần một cho đến khi dừng hẳn ở trạm thu phí là \(3,5\) giây.

b) Đúng. Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng ở trạm thu phí là:

\({S_1} = \int\limits_0^{\frac{7}{2}} {\left( { - 6t + 21} \right)} \,{\rm{d}}t = 36,75\,\left( {\rm{m}} \right)\).

c) Đúng. Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp lần hai là

\({v_2}\left( 4 \right) = 5 \cdot 4 = 20\,\left( {{\rm{m/s}}} \right).\)

d) Đúng. Quãng đường ô tô đi được sau khi trả phí đến khi phanh lần hai là:

\({S_2} = \int\limits_0^4 {5t} \,{\rm{d}}t = 40\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc phanh lần một đến lúc phanh lần hai là:

\(S = {S_1} + {S_2} = 76,75\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).