Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = \frac{1}{4}\) và \(d = - \frac{1}{4}\). Gọi \({S_5}\) là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \[{u_1} = \frac{{12\,\,288}}{2} = 6\,\,144\].

Khi đó diện tích mặt trên cùng là: \[{u_{11}} = {u_1}{q^{10}} = \frac{{6\,\,144}}{{{2^{10}}}} = 6\].

a) Xét hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) có \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng.

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset (SAB)\\CD\, \subset \,(SCD)\end{array} \right.\).

Gọi \(Sx\) là đường thẳng qua \(S\) và song song với \(AB\) và CD.

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng đi qua \(Sx\).

b) Xét tam giác \(SBD\) có \(ON\,{\rm{//}}\,SD\) (vì \(O,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BD\) và \(SB\)).

Mà \(SD\, \subset \,(SCD)\) nên \(ON\,{\rm{//}}\,\,(SCD)\).

c) Xét mặt phẳng \((ABCD)\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM\).

Xét hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBM)\).

Ta có \((SAC) \cap (SBM) = SI\).

Gọi \(J\) là giao điểm của \(SI\) và \(MN\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}J \in SI \subset (SAC)J \in (SAC)\\J \in MN\end{array} \right.\).

Vậy \(J\) là giao điểm của \(MN\) và mặt phẳng \((SAC)\).

 c) Chọn mặt phẳng \((SAC)\) chứa \(NC\). Tìm giao tuyến của \((SAC)\) và \((SMQ)\):

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in (SAC) \cap (SMQ)\\AC\,{\rm{//}}\,MQ,\,\,AC \subset (SAC),\,\,MQ \subset (SMQ)\end{array} \right.\).

Do đó \[(SAC) \cap (SMQ) = Sx\,{\rm{//}}\,AC\,{\rm{//}}\,MQ\].

Trong mặt phẳng \((SAC)\), gọi \(J = CN \cap Sx\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}J \in CN\\J \in Sx \subset (SMQ)\end{array} \right. \Rightarrow J = CN \cap (SMQ)\)

Vậy \(J\) là giao điểm của đường thẳng \(CN\) và mặt phẳng \((SMQ)\).