Trong không gian, xét hệ tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia \(Ox\) hướng về phía nam, tia \(Oy\) hướng về phía đông và tia \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian \(Oxyz\) lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại \(O\) có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí \(A\) ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách \(O\;25\;{\rm{km}}\) về phía nam và 15 km về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí \(B\left( { - 20;15;0} \right)\).

a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.

b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí \(A\).

c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí \(B\).

d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí cách \(O\)\(\;15\;{\rm{km}}\) về phía nam.

Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách \(O\) tối đa \(15\sqrt 3 \;{\rm{km}}\).

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của máy bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét.

Khi đó tọa độ của máy bay là điểm \(A\left( { - 55; - 20;1,5} \right)\).

Khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát bằng:

\(OA = \sqrt {{{\left( { - 55} \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2} + 1,{5^2}} \approx 58,5\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Đáp án: 58,5.

Chọn hệ trục Oxyz với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét.

Gọi \(A,B,M\) lần lượt là vị trí của khinh khí cầu thứ nhất, khinh khí cầu thứ hai và người quan sát. Khi đó \(A\left( {300;100;100} \right),B\left( { - 200; - 100;50} \right),M\left( {a;b;0} \right)\).

Gọi \(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Suy ra \(B'\left( { - 200; - 100; - 50} \right)\).

Ta có \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).

Do đó \(MA + MB\) nhỏ nhất khi bằng \(AB'\) hay \(M\) là giao điểm của \(AB'\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra \(A,B',M\) thẳng hàng hay \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB'} \) cùng phương.

Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AM} = \left( {a - 300;b - 100; - 100} \right)}\\{\overrightarrow {AB'} = \left( { - 500; - 200; - 150} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{a - 300}}{{ - 500}} = \frac{{b - 100}}{{ - 200}} = \frac{{ - 100}}{{ - 150}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \frac{{100}}{3}}\\{b = - \frac{{100}}{3}}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(M\left( { - \frac{{100}}{3}; - \frac{{100}}{3};0} \right)\).

Vậy khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu là:

\(OM = \frac{{100\sqrt 2 }}{3} \approx 47\) (m).

Đáp án: 47.