Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 55 km và về phía Tây 20 km, đồng thời cách mặt đất 1,5 km. Khi đó, khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát bằng bao nhiêu kilômét? (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Gán các lực \[\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SC} .\]

Vì \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\) và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng \(60^\circ \) nên \(S.ABC\) là hình chóp đều.

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC,\,\,G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).\)

Ta có \(\widehat {SAG} = 60^\circ \Rightarrow SG = SA \cdot \sin 60^\circ = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = \frac{{2SG}}{{\sqrt 3 }}.\)

Đặt \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 30\left( {\rm{N}} \right){\rm{.}}\)

Vì \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = 3\left| {\overrightarrow {SG} } \right| \Rightarrow SG = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{3} = 10.\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = 2\frac{{SG}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,5\left( {\rm{N}} \right){\rm{.}}\)

Đáp án: 11,5.

a) Đúng. Tọa độ trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\] là \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{14}}{3}\\{y_G} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{7}{3}\end{array} \right.\].

b) Sai. Ta có \[BC = \sqrt {{{\left( {8 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = 5\sqrt 3 \].

c) Đúng. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 1; - 3} \right)\,;\,\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 6; - 2} \right)\].

Suy ra \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\] nên \[AB \bot AC\]. Vậy tam giác\[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\].

d) Đúng. Ta có \[\overrightarrow {BD} = \left( {a - 1;b - 2;c - 1} \right)\], \[\overrightarrow {DC} = \left( {8 - a; - 3 - b;2 - c} \right)\].

Tam giác \[ABC\] có \[D\] là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh \[A\]\[ \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {26} }}{7}\].

Khi đó \[\overrightarrow {BD} = \frac{{\sqrt {26} }}{7}\overrightarrow {DC} \]\[ \Leftrightarrow \left( {a - 1;b - 2;c - 1} \right) = \frac{{\sqrt {26} }}{7}\left( {8 - a; - 3 - b;2 - c} \right)\]

\[ \Leftrightarrow a = \frac{{7 + 8\sqrt {26} }}{{7 + \sqrt {26} }}\,;\,b = \frac{{14 - 3\sqrt {26} }}{{7 + \sqrt {26} }}\,;\,c = \frac{{ - 3 + 7\sqrt {26} }}{{23}}\].

Vậy \[a + 2b + 3c = 8\].