Trong không gian \[Oxyz\], cho các điểm \(A\left( { - 1; 2; 1} \right)\),\(B\left( {2; - 1; 3} \right)\),\[C\left( {3; 5; - 1} \right)\]. Điểm \[M\left( {a; b; c} \right)\] trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có \(2b + c\) bằng bao nhiêu?
Trong không gian \[Oxyz\], cho các điểm \(A\left( { - 1; 2; 1} \right)\),\(B\left( {2; - 1; 3} \right)\),\[C\left( {3; 5; - 1} \right)\]. Điểm \[M\left( {a; b; c} \right)\] trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có \(2b + c\) bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta chứng minh được ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \).
Nên \[\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} + 3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} } \right|\].
Gọi \(N\) là điểm thỏa \(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0\) nên \(\left| {3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|4\overrightarrow {MN} } \right|\).
Để \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {4\overrightarrow {MN} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất hay \(M\) là hình chiếu của \(N\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(G\left( {\frac{4}{3};2;1} \right)\).
\(3\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3\left( {{x_G} - {x_N}} \right) + \left( {{x_B} - {x_N}} \right) = 0}\\{3\left( {{y_G} - {y_N}} \right) + \left( {{y_B} - {y_N}} \right) = 0}\\{3\left( {{z_G} - {z_N}} \right) + \left( {{z_B} - {z_N}} \right) = 0}\end{array}} \right.\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}\left( {3{x_G} + {x_B}} \right)}\\{{y_N} = \frac{1}{4}\left( {3{y_G} + {y_B}} \right)}\\{{z_N} = \frac{1}{4}\left( {3{z_G} + {z_B}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{1}{4}\left( {3 \cdot \frac{4}{3} + 2} \right)}\\{{y_N} = \frac{1}{4}\left( {3 \cdot 2 - 1} \right)}\\{{z_N} = \frac{1}{4}\left( {3 \cdot 1 + 3} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = \frac{3}{2}}\\{{y_N} = \frac{5}{4}}\\{{z_N} = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\] nên \(\left. {N\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right.} \right)\).
Vậy tọa độ điểm \(M\left( {0;\frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right)\). Hay \(2b + c = 4\).
Đáp án: 4.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của máy bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét.
Khi đó tọa độ của máy bay là điểm \(A\left( { - 55; - 20;1,5} \right)\).
Khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát bằng:
\(OA = \sqrt {{{\left( { - 55} \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2} + 1,{5^2}} \approx 58,5\left( {{\rm{km}}} \right)\).
Đáp án: 58,5.
Lời giải
Chọn hệ trục Oxyz với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét.
Gọi \(A,B,M\) lần lượt là vị trí của khinh khí cầu thứ nhất, khinh khí cầu thứ hai và người quan sát. Khi đó \(A\left( {300;100;100} \right),B\left( { - 200; - 100;50} \right),M\left( {a;b;0} \right)\).
Gọi \(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Suy ra \(B'\left( { - 200; - 100; - 50} \right)\).
Ta có \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).
Do đó \(MA + MB\) nhỏ nhất khi bằng \(AB'\) hay \(M\) là giao điểm của \(AB'\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Suy ra \(A,B',M\) thẳng hàng hay \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB'} \) cùng phương.
Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AM} = \left( {a - 300;b - 100; - 100} \right)}\\{\overrightarrow {AB'} = \left( { - 500; - 200; - 150} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{a - 300}}{{ - 500}} = \frac{{b - 100}}{{ - 200}} = \frac{{ - 100}}{{ - 150}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \frac{{100}}{3}}\\{b = - \frac{{100}}{3}}\end{array}} \right.\).
Suy ra \(M\left( { - \frac{{100}}{3}; - \frac{{100}}{3};0} \right)\).
Vậy khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu là:
\(OM = \frac{{100\sqrt 2 }}{3} \approx 47\) (m).
Đáp án: 47.
Câu 3
A. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} \).
C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {CA} \).
D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \( - \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
B. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\).
C. \(\frac{{{a^2}}}{2}\).
D. \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \[\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = a\sqrt 2 \].
B. \[\left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = a\sqrt 3 \].
C. \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = \vec 0\].
D. \[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo