Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {1; - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\). Tìm điểm \(M' \in Ox\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(MM'\) ngắn nhất.

a) Đúng. Radar đặt trên đỉnh tháp, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên, suy ra tọa độ của đỉnh tháp \(E\left( {0\,;0\,;\,0,1} \right)\).

b) Đúng. Tọa độ điểm \(F\left( {400; - 300;12} \right)\).

\[\overrightarrow {EF} = \left( {400; - 300;11,9} \right) \Rightarrow EF \approx 500,14 < 600\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].

Vậy \(F\) nằm trong phạm vi điều khiển của radar.

c) Sai. Từ \(F\), máy bay bay 1 giờ đến \(A\) với vận tốc \(900\,{\rm{km/h}}\) theo phương \(\overrightarrow a = \left( {3;4;0} \right)\).

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {FA} = k\overrightarrow a \\\left| {\overrightarrow {FA} } \right| = 900\end{array} \right. \Rightarrow k\left| {\overrightarrow a } \right| = 900 \Rightarrow k = \frac{{900}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 180.\]

Suy ra \(\overrightarrow {FA} = \left( {540;720;0} \right) \Rightarrow A\left( {940;420;12} \right).\)

d) Sai. Gọi \(K\left( {x;y;z} \right)\) là điểm máy bay đạt đến phạm vi quan sát của radar, suy ra \(EK = 600\).

Khi đó \(\overrightarrow {FK} = k\overrightarrow a \left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = 3k\\y + 300 = 4k\\z - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 + 3k\\y = - 300 + 4k\\z = 12\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {400 + 3k; - 300 + 4k;12} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {EK} = \left( {400 + 3k; - 300 + 4k;11,9} \right)\), mà \(EK = 600.\)

Nên \({\left( {400 + 3k} \right)^2} + {\left( { - 300 + 4k} \right)^2} + 11,{9^2} = {600^2} \Leftrightarrow 25{k^2} = 109858,39 \Leftrightarrow k \approx 66.\)

Khi đó \(K\left( {598; - 36;12} \right) \Rightarrow \overrightarrow {FK} = \left( {198;264;0} \right) \Rightarrow FK = 330\).

Thời gian máy bay trong phạm vi theo dõi của radar là \(t = \frac{{330 \cdot 60}}{{900}} = 22\) phút.

Biết ba sợi dây được thắt một đầu bên trên là điểm \(S\), ba sợi dây đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều \(ABC\), độ dài sợi dây \(SA = SB = SC = 60\,{\rm{cm}}\), bán kính hình tròn\(OA = OB = OC = 20\,{\rm{cm}}\).

Ta có hình chóp tam giác đều \(S.ABC\), gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = 40\sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Gọi lực chịu đựng của mỗi sợi dây là \(\overrightarrow {{T_1}} ,\;\overrightarrow {{T_2}} ,\overrightarrow {{T_3}} \) các lực này có độ lớn bằng nhau và không quá \(15\,{\rm{N}}\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{T_3}} } \right| \le 15N\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \le 15\,{\rm{N}}\).

Lại có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {SO} \).

Gọi \(P\) là lực tác động lên miếng kê (là tổng lực của miếng giá gỗ hình tròn và lực của các chậu hoa) nên \(P = \left| {3\overrightarrow {SO} } \right| = 3SO\).

Vì \(P\)chia đều ra ba sợi dây

\[ \Rightarrow \frac{P}{{3\overrightarrow {\left| {{T_1}} \right|} }} = \frac{{3SO}}{{3SA}} = \frac{{SO}}{{SA}} = \frac{{40\sqrt 2 }}{{60}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \frac{P}{{2\sqrt 2 }} \le 15\,{\rm{N}} \Leftrightarrow P \le 30\sqrt 2 \,{\rm{N}}\].

Suy ra \({P_{{\rm{hoa}}}} + {P_{{\rm{go}}}} \le 30\sqrt 2 \,{\rm{N}} \Leftrightarrow {P_{{\rm{hoa}}}} \le \left( {30\sqrt 2 - 5} \right)\,\,{\rm{N}} \approx 37,4\,{\rm{N}}\).

Vậy trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là \(37,4\,{\rm{N}}\).

Đáp án: 37,4.