Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương cạnh \(5\,\,{\rm{m}}\) có 3 chú nhện sinh sống. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí của 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Chúng quy định không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn) là \[\frac{m}{p}\sqrt n \] với \(m,\,n,\,p \in {\mathbb{N}^*};\,\,\frac{m}{p}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \({m^2} + {n^2} + {p^2}\)

a) Đúng. Radar đặt trên đỉnh tháp, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên, suy ra tọa độ của đỉnh tháp \(E\left( {0\,;0\,;\,0,1} \right)\).

b) Đúng. Tọa độ điểm \(F\left( {400; - 300;12} \right)\).

\[\overrightarrow {EF} = \left( {400; - 300;11,9} \right) \Rightarrow EF \approx 500,14 < 600\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].

Vậy \(F\) nằm trong phạm vi điều khiển của radar.

c) Sai. Từ \(F\), máy bay bay 1 giờ đến \(A\) với vận tốc \(900\,{\rm{km/h}}\) theo phương \(\overrightarrow a = \left( {3;4;0} \right)\).

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {FA} = k\overrightarrow a \\\left| {\overrightarrow {FA} } \right| = 900\end{array} \right. \Rightarrow k\left| {\overrightarrow a } \right| = 900 \Rightarrow k = \frac{{900}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 180.\]

Suy ra \(\overrightarrow {FA} = \left( {540;720;0} \right) \Rightarrow A\left( {940;420;12} \right).\)

d) Sai. Gọi \(K\left( {x;y;z} \right)\) là điểm máy bay đạt đến phạm vi quan sát của radar, suy ra \(EK = 600\).

Khi đó \(\overrightarrow {FK} = k\overrightarrow a \left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = 3k\\y + 300 = 4k\\z - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 + 3k\\y = - 300 + 4k\\z = 12\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {400 + 3k; - 300 + 4k;12} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {EK} = \left( {400 + 3k; - 300 + 4k;11,9} \right)\), mà \(EK = 600.\)

Nên \({\left( {400 + 3k} \right)^2} + {\left( { - 300 + 4k} \right)^2} + 11,{9^2} = {600^2} \Leftrightarrow 25{k^2} = 109858,39 \Leftrightarrow k \approx 66.\)

Khi đó \(K\left( {598; - 36;12} \right) \Rightarrow \overrightarrow {FK} = \left( {198;264;0} \right) \Rightarrow FK = 330\).

Thời gian máy bay trong phạm vi theo dõi của radar là \(t = \frac{{330 \cdot 60}}{{900}} = 22\) phút.

a) Sai. Ba vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} \) không đồng phẳng.

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {{{\vec F}_2}} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {{{\vec F}_1},\overrightarrow {{F_2}} } \right)\).

c) Sai. Trọng lực \(P = 4,6 \cdot 9,8 = 45,08\,\left( {\rm{N}} \right)\).

d) Sai. Gọi \(O\) là tâm của đáy. Khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \vec 0\).

Ta có \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {SO} \).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} \left| = \right|3\overrightarrow {SO} } \right| = 3SO\).

Mặt khác \(3SO = \left| {\vec P} \right| = 45,08 \Rightarrow SO = \frac{{1127}}{{75}}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của AB. Đặt \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Khi đó \(SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(CH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OH = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Tam giác SOH vuông tại \(O\) nên \(S{H^2} = S{O^2} + O{H^2} \Rightarrow \frac{{3{x^2}}}{4} = {\left( {\frac{{1127}}{{75}}} \right)^2} + \frac{{{x^2}}}{{12}} \Rightarrow x = \frac{{1127\sqrt 6 }}{{150}}\).

Do đó \(SA = \frac{{1127\sqrt 6 }}{{150}} \approx 18,4\). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \approx 18,4\,{\rm{(N)}}\).

Vậy độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(18,4\,{\rm{N}}\).