Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc 23 km và về phía tây 18 km, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía nam 22 km và về phía đông 27 km, đồng thời cách mặt đất 3 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng bắn một mục tiêu di động trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến mục tiêu là nhỏ nhất, lúc đó mục tiêu cách điểm xuất phát của hai máy bay bao nhiêu kilômét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm \(M,N,P\) nằm trên các cạnh \[A'B',CC',AD\] như hình vẽ.

Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm \(M,N,P\) để chu vi tam giác \(MNP\) nhỏ nhất.

Đặt \[M\left( {x;5;0} \right),P\left( {0;0;z} \right),N\left( {5;y;5} \right)\]. Chu vi tam giác \[MNP\] là:

\[\begin{array}{l}MN + NP + PM = \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{5^2} + {y^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {5^2} + {z^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{y^2} + {{\left( {z - 5} \right)}^2} + {5^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { - x} \right)}^2} + {5^2}} .\end{array}\]

Áp dụng bất đẳng thức vectơ:

\[\begin{array}{l} \Rightarrow MN + NP + PM \ge \sqrt {{{\left( {5 - x + y} \right)}^2} + {{\left( {y + z - 10} \right)}^2} + {{10}^2}} + \sqrt {{z^2} + {{\left( { - x} \right)}^2} + {5^2}} \\ \ge \sqrt {{{\left( {5 - x + y + z} \right)}^2} + {{\left( {y - 5 + z - 5 - x} \right)}^2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \\ = \sqrt {2{{\left( {y + z - x - \frac{5}{2}} \right)}^2} + \frac{{225}}{2} + {{\left( {5 + 5 + 5} \right)}^2}} \ge 15\sqrt {\frac{3}{2}} = 15\frac{{\sqrt 6 }}{2}.\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}y + z - x = \frac{5}{2}\\\frac{{5 - x}}{y} = \frac{{y - 5}}{{z - 5}} = \frac{5}{5}\\\frac{{5 - x + y}}{z} = \frac{{y + z - 10}}{{ - x}} = \frac{{10}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = z\\2y - x = \frac{5}{2}\\x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{5}{2}\].

Vậy giá trị cần tìm là \[\frac{{15}}{2}\sqrt 6 \] \( \Rightarrow {m^2} + {n^2} + {p^2} = 265.\)

Đáp án: 265.

a) Đúng. Radar đặt trên đỉnh tháp, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên, suy ra tọa độ của đỉnh tháp \(E\left( {0\,;0\,;\,0,1} \right)\).

b) Đúng. Tọa độ điểm \(F\left( {400; - 300;12} \right)\).

\[\overrightarrow {EF} = \left( {400; - 300;11,9} \right) \Rightarrow EF \approx 500,14 < 600\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].

Vậy \(F\) nằm trong phạm vi điều khiển của radar.

c) Sai. Từ \(F\), máy bay bay 1 giờ đến \(A\) với vận tốc \(900\,{\rm{km/h}}\) theo phương \(\overrightarrow a = \left( {3;4;0} \right)\).

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {FA} = k\overrightarrow a \\\left| {\overrightarrow {FA} } \right| = 900\end{array} \right. \Rightarrow k\left| {\overrightarrow a } \right| = 900 \Rightarrow k = \frac{{900}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 180.\]

Suy ra \(\overrightarrow {FA} = \left( {540;720;0} \right) \Rightarrow A\left( {940;420;12} \right).\)

d) Sai. Gọi \(K\left( {x;y;z} \right)\) là điểm máy bay đạt đến phạm vi quan sát của radar, suy ra \(EK = 600\).

Khi đó \(\overrightarrow {FK} = k\overrightarrow a \left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = 3k\\y + 300 = 4k\\z - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 + 3k\\y = - 300 + 4k\\z = 12\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {400 + 3k; - 300 + 4k;12} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {EK} = \left( {400 + 3k; - 300 + 4k;11,9} \right)\), mà \(EK = 600.\)

Nên \({\left( {400 + 3k} \right)^2} + {\left( { - 300 + 4k} \right)^2} + 11,{9^2} = {600^2} \Leftrightarrow 25{k^2} = 109858,39 \Leftrightarrow k \approx 66.\)

Khi đó \(K\left( {598; - 36;12} \right) \Rightarrow \overrightarrow {FK} = \left( {198;264;0} \right) \Rightarrow FK = 330\).

Thời gian máy bay trong phạm vi theo dõi của radar là \(t = \frac{{330 \cdot 60}}{{900}} = 22\) phút.