Cho tứ diện \(ABCD\), các điểm \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm \(BD,\,\,AD.\) Các điểm \(H,\,\,G\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(BCD,\,\,ACD.\) Đường thẳng \(HG\) chéo với đường thẳng nào sau đây?

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MBC} \right)\\AD{\rm{ // }}BC\\AD \subset \left( {SAD} \right);BC \subset \left( {MBC} \right)\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {MBC} \right) = Mx{\rm{ // }}AD{\rm{ // }}BC\).

b) Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \(L = CN \cap AB\).

    Suy ra \[LM\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {CMN} \right)\] và \[\left( {SAB} \right),\] điểm \[I\] cần tìm là giao điểm của \[LM\]và \[SB.\]

    Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {ICD} \right) \cap \left( {SAB} \right)\\CD{\rm{ // }}AB\\CD \subset \left( {ICD} \right);AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow \left( {ICD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = Iy{\rm{ // }}CD{\rm{ // }}AB\)

     Điểm \[J\] cần tìm là giao điểm của \[Iy\] với \[SD.\]

c) Ta có \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng \[\left( {ICD} \right),\] gọi \(E = JC \cap ID\) có

    \(\left\{ \begin{array}{l}E \in JC \subset \left( {SAC} \right)\\E \in ID \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\), hay \[E\] thuộc \[SO.\]

    Lại có \[AN\] là đường trung bình của tam giác \[LBC,\] nên \[A\] trung điểm của \[LB.\]

    • Trong tam giác \[SBL\] có \[SA\] là đường trung tuyến và \(SM = \frac{2}{3}SA\) nên \(M\) là trọng tâm của tam giác \[SBL\]. Nên \[I\] trung điểm của \[SB.\]

    • Trong tam giác \[SBD\] có \[E\] là trọng tâm của tam giác. Do đó \(\frac{{SE}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).

Gọi \({B_n},\,\,{C_n}\) lần lượt là số tiền công ty A cần trả theo cách tính của hai công ty B và C.

Theo bài ra, ta có:

• \({B_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với \({u_1} = 8\) triệu đồng, \(d = 0,5\) triệu đồng.

• \({C_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với \({u_1} = 60\) triệu đồng, \(d = 3\) triệu đồng.

Khi đó:

• Nếu thuê đất của công ty B trong vòng 15 năm = 60 quý thì số tiền công ty A phải trả là:

\({B_{60}} = \left( {2 \cdot 8 + 59 \cdot 0,5} \right) \cdot 30 = 1\,\,365\) (triệu đồng).

• Nếu thuê đất của công ty C trong vòng 15 năm thì số tiền công ty A phải trả là:

\[{C_{15}} = \left( {2 \cdot 60 + 14 \cdot 3} \right) \cdot 7,5 = 1\,\,215\] (triệu đồng).

Do đó thuê mảnh đất trong vòng 15 năm của công ty C.

• Nếu thuê đất của công ty B trong vòng 10 năm = 40 quý thì số tiền công ty A phải trả là:

\({B_{40}} = \left( {2 \cdot 8 + 39 \cdot 0,5} \right) \cdot 20 = 710\) (triệu đồng).

• Nếu thuê đất của công ty C trong vòng 15 năm thì số tiền công ty A phải trả là:

\[{C_{10}} = \left( {2 \cdot 60 + 9 \cdot 3} \right) \cdot 4,5 = 661,5\] (triệu đồng).

Do đó thuê mảnh đất trong vòng 10 năm của công ty C.

Vậy chọn công ty C để thuê cả hai mảnh đất.