(0,5 điểm) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \[\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{3{u_{n\, - \,1}} + 1}}{4}\,\,\forall n \ge 2\end{array} \right..\]

Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm.

Ta có \[{u_n} - {u_{n\, - \,1}} = \frac{{3{u_{n\, - \,1}} + 1}}{4}\, - {u_{n\, - \,1}} = \frac{{1 - {u_{n\, - \,1}}}}{4}.\]

Do đó, để chứng minh dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm, ta chứng minh \({u_n} > 1\,\,\forall n \ge 1\) bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy,

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 2 > 1\).

Giả sử \({u_k} > 1 \Rightarrow {u_{k\, + \,1}} = \frac{{3{u_k} + 1}}{4}\, > \frac{{3 + 1}}{4} = 1.\)

Theo nguyên lí quy nạp, ta có \({u_n} > 1\,\,\forall n \ge 1\).

Do đó \[{u_n} - {u_{n\, - \,1}} < 0 \Leftrightarrow {u_n} < {u_{n\, - \,1}}\,\,\forall n \ge 2\].

Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.